Как показать что углы равны. Как установить и доказать, что треугольники равны. Применение навыка на практике

Предлагаю на этот раз устроить что-то вроде «доказательного марафона» по решению задач, которые предлагаются девятиклассникам в вариантах ГИА по математике. Связаны они с доказательством несложных, но в то же время очень полезных геометрических фактов. В статье намеренно не приведены подробные решения задач, лишь некоторые наброски и подсказки. Постарайтесь преодолеть эту марафонскую дистанцию самостоятельно, без ошибок и за один подход.

Задача 1. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Угол α обозначен одной дугой, β — двумя

Доказательство: из рисунка видно, что α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (развернутый угол), следовательно, α + β = 90 0 . Что и требовалось доказать.

Задача 2. Два отрезка AC и BD пересекаются в точке O , которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и CAB .

ABCD, конечно, будет параллелограммом, но в условии этого не дано

Доказательство: боковые треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (BO = OD — по условию, AO = OC — по условию, ∠DOC = ∠AOB — вертикальные), то есть ∠ACD = ∠CAB , а поскольку они являются накрест лежащими при прямых AB , CD и секущей AC , то AB параллельна DC . Аналогично доказываем параллельность прямых BC и AD. Итак, ABCD — параллелограмм по определению. BC = AD , AB = CD (в параллелограмме противоположные стороны равны), AC — общая для треугольников ACD и CAB , поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.

Задача 3. Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию, а также перпендикулярна основанию.

Углы, образованные медианой и основанием, назовем «нижними», медианой и боковыми сторонами — «верхними»

Доказательство: боковые треугольники на рисунке равны по трем сторонам, из чего следует равенство, во-первых, «верхних» углов (доказали, что биссектриса), во-вторых, «нижних» углов, в сумме как смежные дающих 180 0 , и равных поэтому по 90 0 каждый (доказали перпендикулярность). Что и требовалось доказать.

Задача 4. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Треугольники, образованные медианами, основанием и нижними половинами боковых сторон исходного треугольника, назовем «нижними»

Доказательство: углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому «нижние» треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, из чего следует равенство проведенных медиан. Что и требовалось доказать.

Задача 5. Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.

Все отмеченные на рисунке углы, конечно, равны, хоть и обозначены разными дугами

Доказательство: «нижний» треугольник равнобедренный, что следует из равенства углов при его основании, «боковые» треугольники равны по стороне (равные из доказанного выше частички биссектрис) и двум углам (первые равны по условию, вторые как вертикальные), поэтому оставшиеся частички биссектрис также равны друг другу, а значит равны и сами биссектрисы целиком. Что и требовалось доказать.

Задача 6. Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, равна половине третьей стороны.

Чистенькие стороны назовем «основаниями», перечеркнутые — «боковыми сторонами»

Доказательство: боковые стороны маленького и большого треугольника на рисунке относятся как 1: 2, кроме того у них есть один общий угол, а значит они подобны по второму признаку с коэффициентом подобия 1: 2, поэтому и основания относятся как 1: 2. Что и требовалось доказать.

Задача 7. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

Параллелограмм с диагональю, больше, пожалуй, добавить нечего

Доказательство: противоположные стороны параллелограмма равны, диагональ является общей стороной для этих треугольников, поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.

Задача 8. Докажите, что медиана, прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Другими словами медиана проведена из вершины прямого угла

Доказательство: если вокруг данного прямоугольного треугольника описать окружность, то вписанный в эту окружность прямой угол треугольника будет описаться на полуокружность, поэтому гипотенуза будет диаметром этой окружности, а половинки гипотенузы и данная нам в задаче медиана — радиусами, итак, все они равны. Что и требовалось доказать.

Задача 9. Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Дополнительное построение: соединяем точку C с точкой O (мысленно)

Доказательство: углы B и A прямые (радиусы окружности, проведенные в точку качания, перпендикулярны касательным), значит прямоугольные треугольники AOC и BOC равны по гипотенузе (общая для них воображаемая нами сторона OC ) и катету (радиусы окружности OB = OA ), а значит AC = CB . Что и требовалось доказать.

Задача 10. Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей.

Линия, соединяющая две точки на рисунке, является медианой треугольника, который мы рассмотрим

Доказательство: в равнобедренном треугольнике, образованном точками пересечения хорды с окружностью и центром этой окружности, изображенная медиана будет являться высотой, а значит диаметр, содержащий в себе эту высоту, перпендикулярен хорде. Что и требовалось доказать.

Задача 11. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центр этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.

Мысленно соединяем вместе все отмеченные на рисунке точки, точку пересечения горизонтали и вертикали назовем H

Доказательство: треугольники O 1 AO 2 и O 1 BO 2 равны по трем сторонам, следовательно, ∠HO 2 A = ∠HO 2 B , тогда треугольники HAO 2 и HBO 2 равны по двум сторонам и углу между ними, значит ∠AHO 2 = ∠BHO 2 , а в сумме два равных угла могут давать 180 0 только в том случае, если каждый из них равен по 90 0 . Что и требовалось доказать.

Задача 12. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Описанный четырехугольник. Назовем его ABCD. Пусть M, E, X и L — точки касания

Доказательство: используем теорему об отрезках касательных (задача 9). ВК = ВР , СР = СН , DX = DL и АТ = АК . Суммируем стороны АВ и CD : AB + CD = (AM + MB ) + (DX + XC ) = AL + BE + DL + CE = (AL + LD ) + (BE + EC ) = AD + BC. Что и требовалось доказать.

Задача 13. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противолежащих углов равны.

Описанная окружность

Доказательство: по теореме о вписанном угле сумма противолежащих углов этого четырехугольника равна 180 0 , поскольку вместе они опираются на полную окружность, градусная мера которой 360 0 . Что и требовалось доказать.

Задача 14. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.

Доказательство: сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна α + β = 180 0 (см. задачу 13), сумма углов при боковой стороне трапеции также равна α + γ = 180 0 (эти углы являются односторонними при параллельных основаниях и секущей боковой стороне), из сравнения этих формул получаем, что β = γ , то есть углы при основании такой трапеции равны, и она действительно равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Задача 15. В квадрате ABCD точки К и Е - середины сторон АВ и AD соответственно. Доказать, что КD перпендикулярна CE .

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).

Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB . Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB , то справедливы равенства

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD –диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углыDAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что уголBDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН - перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.

Треугольник является самым простым из типов многоугольников, у которого три угла и три стороны. Стороны образованы отрезками, которые объединены между собой тремя точками на плоскости, образуя при этом жесткую форму. Равенство 2-х треугольников дозволено подтвердить несколькими методами.

Инструкция

1. Если у треугольников ABC и DEF две стороны равны, а угол?, тот, что размещен между двумя сторонами треугольника ABC, равен углу?, тот, что размещен между соответствующими сторонами треугольника DEF, то эти два треугольника равны между собой.

2. Если у треугольников ABC и DEF сторона AB равна стороне DE, а углы, прилегающие к стороне AB, равны углам, прилегающим к стороне DE, то эти треугольники считаются равными.

3. Если у треугольников ABC стороны AB, BC и CD равны соответствующим им сторонам треугольника DEF, то данные треугольники равны.

Обратите внимание!
Если требуется подтвердить равенство между собой 2-х прямоугольных треугольников, то это дозволено сделать при помощи следующих знаков равенства прямоугольных треугольников:- по одному из катетов и гипотенузе;- по двум знаменитым катетам;- по одному из катетов и прилежащему к нему острому углу;- по гипотенузе и одному из острых углов.Треугольники бывают остроугольными (если все углы его поменьше 90 градусов), тупоугольными (если один из его углов огромнее 90 градусов), равносторонними и равнобедренными (если две стороны его равны).

Полезный совет
Помимо равенства треугольников между собой, эти же треугольники являются сходственными. Сходственными треугольниками считаются те, у которых углы равны между собой, а стороны одного треугольника пропорциональны сторонам иного. Стоит подметить, что если два треугольника подобны между собой, то это не гарантирует их равенство. При делении сходственных сторон треугольников друг на друга рассчитывается так называемый показатель подобия. Также данный показатель дозволено получить путем деления площадей сходственных треугольников.