Углы равны то. Виды углов. накрест лежащие углы равны

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

Вид угла	Размер в градусах	Пример
Острый	Меньше 90°
Прямой	Равен 90°. На чертеже прямой угол, обычно обозначают символом , проведённым от одной стороны угла до другой.
Тупой	Больше 90°, но меньше 180°
Развёрнутый	Равен 180° Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов, а прямой угол составляет половину развёрнутого угла.
Выпуклый	Больше 180°, но меньше 360°
Полный	Равен 360°

Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют прямую линию:

Углы MOP и PON смежные, так как луч OP - общая сторона, а две другие стороны - OM и ON составляют прямую.

Общая сторона смежных углов называется наклонной к прямой , на которой лежат две другие стороны, только в том случае, когда смежные углы не равны между собой. Если смежные углы равны, то их общая сторона будет перпендикуляром .

Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла дополняют до прямых линий стороны другого угла:

Углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 - вертикальные.

Вертикальные углы равны.

Докажем, что вертикальные углы равны:

Сумма ∠1 и ∠2 составляет развёрнутый угол. И сумма ∠3 и ∠2 составляет развёрнутый угол. Значит, эти две суммы равны:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

В этом равенстве слева и справа есть по одинаковому слагаемому - ∠2. Равенство не нарушится, если это слагаемое в левой и в правой части опустить. Тогда мы получаем.

Углы.

Основные понятия.

Угол - это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Вершина угла - это точка, из которой выходят два луча, образующих этот угол.

Биссектриса - это луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам.

Развернутый угол - это угол, стороны которого лежат на одной плоскости; равен 180? и является прямой.

Прямой угол - это угол, равный половине развернутого угла; равен 90?.

Острый угол - это угол, который меньше прямого.

Тупой угол - это угол, который больше прямого, но меньше развернутого.

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом .

Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными .

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами.

Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера равна 360 º - α, где α - градусная мера дополнительного плоского угла.

Равные углы.

Это углы, которые совпадают при наложении.

Смежные углы.

Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке углы (ad) и (cd) смежные. У них сторона d общая, а стороны a и c - дополнительные полупрямые.

Теорема:

Сумма смежных углов равна 180 º .

Из теоремы следует:

Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180 º .

Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Вертикальные углы.

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими, имеют общую вершину и одинаковую градусную меру.

На рисунке углы (A 1 B 1) и (A 2 B 2) вертикальные. Стороны A 2 и B 2 второго угла являются дополнительными полупрямыми сторон A 1 и B 1 первого угла.

Теорема:

Вертикальные углы равны.

Центральный угол.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре (рис.1).

Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности , соответствующей этому центральному углу (на рис.1 дуга AB является дугой окружности).

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Углы, вписанные в окружность.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис.2).

Свойства:

Углы при пересечении двух прямых третьей.

При пересечении прямых a и b секущей c образуется восемь углов, которые на рисунке обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы : 4 и 5, 3 и 6.