План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему: нестандартный способ лагарифмических неравенств. Открытый урок решение логарифмических неравенств
Рассмотрим график логарифмической функции и график прямой пропорциональности
Отметим, что функция возрастает на области определения, Без графика это можно определить по основанию логарифма. Для где х>0, если основание логарифма больше нуля, но меньше единицы, то функция убывает, если основание логарифма больше единицы, то функция возрастает.
Важно заметить, что логарифмическая функция принимает положительные значения на множестве чисел, больших единицы, запишем это утверждение с помощью символов f(x) при x
Прямая пропорциональность y= x в этом случае на промежутке от одного до плюс бесконечности тоже принимает положительные значения, большие одного. Совпадение это или закономерность? Обо всём по порядку.
Неравенства вида называются логарифмическими, где а — положительное число, отличное от 1 и >0,)>0
Преобразуем неравенство к виду. При переносе слагаемых из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. По свойству логарифма, разность логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифм частного, таким образом, наше неравенство примет вид.
Обозначим выражение t , тогда неравенство примет вид.
Рассмотрим это неравенство относительно основания а, большего единицы, и относительно основания а, большего нуля и меньшего единицы.
Если основание логарифма а, большего единицы, то функция возрастает на области определения и принимает положительные значения при t больше одного. Вернемся к обратной замене. Значит, дробь должна быть больше одного. Это означает, что f(x)>g(x).
Если же основание логарифма, большего нуля и меньшего единицы, тофункция убывает на области определения и принимает положительные значения при t больше нуля и меньше одного. При обратной замене неравенство равносильно неравенству, а оно выполняется при f(x) Сделаем вывод: Если)>0 и при a>1 логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла)>), а при 0 Равносильно неравенству противоположного смысла)<) Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств. Решить неравенство: Неравенства >0 и область допустимых значений переменной для данного логарифмического неравенства. Основание логарифма пять и оно больше одного, значит исходное неравенство равносильно неравенству. Решим полученную систему неравенств путем уединения переменной для этого. В первом неравенстве перенесем четыре в правую часть неравенства, поменяв знак минус на плюс. Получим. Во втором неравенстве единицу перенесем в правую часть и запишем как минус один. Получим неравенство В третьем неравенстве минус четыре перенесем в правую часть, запишем как плюс четыре, а х
перенесем в левую часть и запишем как минус икс. Получим неравенство. В нём можно привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Получим неравенство. В первом неравенстве поделим левую и правую часть неравенства на 2. Получим неравенство. Полученная в ходе решения система имеет знак одной направленности, в таких случаях очевидно, что данной системе удовлетворяет множество чисел больше пяти. Легко увидеть, что пять тоже удовлетворяет системе неравенств. В противном случае можно построить геометрическую модель данной системы и посмотреть решение. Отметим на координатной прямой числа минус один, два и пять. Причем числам -1 и 2 будет соответствовать светлая точка, а числу пять — темная точка. Нанесем «штриховку» справа от 2 для первого неравенства, справа от 1 — для второго неравенства и справа от пяти — для третьего неравенства. Пересечение штриховок указывает на множество чисел, больших и равных пяти. Ответ запишем в виде выражения Пример 2. Решить неравенство Составим систему неравенств. Неравенства >0 и >0 определяют область допустимых значений неравенства. Основание логарифма равно 0,3, оно больше нуля, но меньше одного, значит логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным по смыслу знаком: Полученная система трудна для параллельного решения неравенств. Решим каждое из них отдельно и рассмотрим общее решение на геометрической модели. Неравенство является квадратным и решается по свойствам квадратичной функции, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Найдем нули данной функции, для этого её правую часть приравняем к нулю и решим полученное уравнение через разложение на множители. Для этого вынесем общий множитель икс за скобки, в скобках останется от первого слагаемого — шесть, от второго слагаемого — минус икс. Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Значит, первый множитель икс равен нулю или второй множитель шесть минус икс равен нулю. Тогда корни уравнения — ноль и шесть. Отметим их на координатной прямой в виде светлых точек, так как решаемое квадратное неравенство строгое и изобразим параболу ветвями вниз, проходящую через эти точки. Квадратичная функция принимает положительные значения на интервале от нуля до шести, значит решением неравенства является множество чисел x
Неравенство является линейным. Оно содержит отрицательные слагаемые, для удобства обе части неравенства умножим на минус единицу. Знак неравенства в этом случае поменяется на противоположный. Получим неравенство. Перенесём восемь в правую часть неравенства и запишем как минус восемь. Таким образом, решением неравенства является множество чисел от минус бесконечности до минус восьми. Запишем решение неравенства в иде выражения x
.
Неравенство сводится к квадратному неравенству, для этого перенесем минус восемь и минус икс в левую часть неравенства. Получим неравенство и приведем подобные 6х и х, Получим 7х, уравнение примет вид. Решается оно по свойствам квадратичной функции графиком которой является парабола с ветвями вниз. Найдем нули функции.0 при =0 и решим полученное квадратное уравнение через формулу дискриминанта Так как коэффициент b
равен минус семи, коэффициент а
равен минус единице, а с
равен 8 то дискриминант уравнения равен 81. Найдем по формуле первый корень, он равен -1, второй корень равен 8. Отметим полученные значения на координатной прямой темными точками, так рассматриваемое квадратное неравенство относится к нестрогим неравенствам. Изобразим на координатной прямой параболу с ветвями вниз. Квадратичная функция принимает меньшие и равные нулю значения на множестве чисел от минус бесконечности до включая и от 8 до плюс бесконечности включая 8. Решение этого неравенства запишем в виде выражения ] Итак, все три неравенства решены, отметим их решения на одной координатной прямой. Значения переменной, которые бы удовлетворяли всем трём неравенствам одновременно, нет, что означает, что исходное логарифмическое неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет. Этот факт можно было заметить после решения линейного неравенства, так как решением первого квадратного неравенства являются положительные числа от одного до шести, а решением второго неравенства являются отрицательные числа, то для этих двух неравенств уже нет общих решений и исходное логарифмические неравенство не имеет решений. Логарифмы обладают интересными свойствами, упрощающие вычисления и выражения, вспомним некоторые из них Пример 3. Решить неравенство: Неравенство нужно преобразовать к виду. Для этого единицу запишем в виде логарифма 2 по основанию два. А влевой чатси неравенства сумму логарифмов заменим по свойству на тождественно равное ему выражение — логарифм произведения. Получим неравенство вида Составим систему неравенств. Неравенства, задающие область допустимых значений неравенства, опрелеяются по исходному неравенству, поэтому >0 и >0 будут первыми двумя неравенствами системы. Так как логарифм имеет основание 2, оно больше одного, то неравенство В первом неравенстве перенесем минус три в правую часть, получим неравенство х>3, во втором — минус два перенесем в правую часть, получим неравенство х>2. В третьем — раскроем скобки в левой части неравенства, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Получим неравенство. Решим третье неравенство отдельно: перенесем два в левую часть неравенства и запишем с минусом. Упростим полученное нравенство до вида. Сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю, тогда, по свойству коэффициентов, первый корень равен одному, а второй равен частному от с на а
и равен в данном случае 4. Эти уравнения можно решить и через формулу дискриминанта, корни от способа решения не зависят. Отметим эти корни на координатной прямой в виде тёмных точек, проведем через них параболу ветвями вверх. Неравенство выполняется на множестве чисел от 1 до 4 включая 1 и 4. Отметим на одной координатной прямой решение первого и второго неравенства, для этого сделаем штриховку правее трех для первого неравенства и правее двух для второго неравенства и штриховку от 1 до 4 для второго неравенства. Три неравенства одновременно выполняются только на множестве чисел от 3 до 4, включая 4. Значит, это и будет решение исходного логарифмического неравенства. Вывод: При решении логарифмических неравенств Если a>1 , то переходят к решению системы из неравенств, определяющих область допустимых значений неравенства, и неравенства подлогорифмических выражений того же знака. Если 0 На этом уроке мы изучим следующую тему: «Логарифмические неравенства». Для того чтобы научиться правильно решать простейшие логарифмические неравенства, необходимо повторить основные свойства логарифмических функций. На этом занятии мы вместе с преподавателем рассмотрим несколько примеров на указанную тему и научимся их правильно решать, применяя полученные ранее знания. Тема: Метод интервалов
Урок:
Логарифмические неравенства
Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида ( Вспомним основные свойства логарифмической функции. Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях 1. Область определения: ; 2. Область значений: ; 3. Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности, ). При монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности, ). Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства. Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда: Например: Рис. 2. Иллюстрация решения примера Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма . Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда: При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой: Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству: Например: Рис. 3. Иллюстрация решения примера Ответ: нет решений Выполним обобщение. Мы рассматриваем простейшие логарифмические неравенства, т. е. неравенства вида: Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим. Методика решения: 1. Уравнять основания логарифмов; 2. Сравнить подлогарифмические выражения: При изменить знак неравенства на противоположный; 3. Учесть ОДЗ; Пример 1 - решить неравенство: Уравняем основания логарифмов. Для этого число в правой части представим в виде логарифма с нужным основанием: Итак, имеем неравенство: Рис. 4. Иллюстрация решения примера 1 Пример 2 - решить неравенство: Уравняем основания: Имеем неравенство: Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему: Имеем систему двух простейших логарифмических неравенств. Уравняем основания в каждом из них. Конспект урока «Решение логарифмических неравенств». 11 класс
Разработала и провела учитель первой категории Шайдулина Г.С.
Наш девиз: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».
Многие физики шутят, что «Математика, царица наук, но служанка физики!» Также могут сказать химики, астрономы и даже музыканты. Действительно математика служит основой большинства наук и слова английского философа 16 века Роджера Бэкона « Тот, кто не знает математики не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить собственного невежества.» актуальны и в настоящее время
Тема нашего урока « Логарифмические неравенства».
Цель урока:
1) обобщить знания по теме
«Логарифмические неравенства»
2)рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств;
3)
усилить практическую направленность данной темы для качественной подготовки к ЕГЭ.
Задачи:
Обучающие:
повторение, обобщение и систематизация материала темы, контроль усвоения знаний и умений.
Развивающие:
развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.
Воспитательные:
воспитание интереса к математики, активности, умения общаться, общей культуры.
Оборудование:
компьютер, мультимедийный проектр, экран, карточки с заданиями, с формулами логарифмов.
Структура урока:
Организационный момент.
Повторение материала. Устная работа.
Историческая справка.
Работа над материалом.
Задания на дом.
Итог урока.
Логарифмическим неравенствам
в вариантах ЕГЭ по математике посвящена
задача C3
. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично».
Историческая справка.
Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
Начнем урок с устной разминки. Готовы?
Работа у доски.
Во время устной работы с классом двое учеников решают у доски примеры по карточкам.
1.Решите неравенство
2.Решите неравенство
(Учащиеся, выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, ссылаясь на соответствующий теоретический материал, а остальные вносят при необходимости корректировки.)
1) Укажите неверное равенство. Какое правило для этого надо использовать?
а) log 3 27 = 3 2)Сравните с нулем значения логарифма.
Какое правило для этого надо использовать?
а)
lg
7
б)
log
0,4
3
в)
log
6
0,2
д)
log
⅓
0,6
3) Я хочу вам
предложить сыграть в морской бой. Я называю букву строки и номер столбца, а вы называете ответ и ищите соответствующую букву в таблице.
4) Какие из перечисленных логарифмических функций являются возрастающими, и какие убывающими. От чего это зависит?
5) Какова область определения логарифмической функции? Найдите область определения функции:
Разобрать решение на доске.
Как же решаются логарифмические неравенства?
На чем основано решение логарифмических неравенств?
На решение каких неравенств похоже?
(Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции, с учетом области определения логарифмической функции и общих свойств неравенств.)
Алгоритм решения логарифмических неравенств:
А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля). Проверка д.з.
1.
log
8
(5х-10) <
log
8
(14-х).
2.
log
3
(х+2) +
log
3
х =< 1.
3.
log
0,5
(3х+1)<
log
0,5
(2-х)
Учимся на чужих ошибках!!!
Кто первый найдет ошибку.
1.Найдите ошибку в решении неравенства:
а)
log
8
(5х-10) <
log
8
(14-х),
5
x
-10 < 14-
x
,
6
x
< 24,
x
< 4.
Ответ: х € (-∞; 4).
Ошибка: не учтена область определения неравенства.
Прокоментировать решение
Верное решение:
log
8
(5х-10)<
log
8
(14-х)
Ответ: х € (2;4).
2.Найдите ошибку в решении неравенства:
Ошибка: не учтена область определения исходного неравенства.
Верное решение
Ответ: х
.
3.Найдите ошибку в решении неравенства:
log
0,5
(3х+1)<
log
0,5
(2-х)
Ответ: х €
Ошибка: не учли основание логарифма.
Верное решение:
log
0,5
(3х+1)<
log
0,5
(2-х)
Ответ: х €
Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.
Найдите ошибку в решении неравенства:
4
.
А как еще можно решить неравенство №4?
Кто решал другим методом?
Итак, ребята, подводных камней при решении логарифмических неравенств встречается много.
На что же мы должны обратить особое внимание при решении логарифмических неравенств? Как вы думаете?
Итак, что нужно для того, чтобы решать
логарифмические уравнения и неравенства
?
Во-первых,
внимание
. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
Во-вторых,
умение мыслить логически
. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
В-третьих, четкое
знание
свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и
понимание
их смысла.
ВНИМАНИЕ!
1. ОДЗ исходного неравенства.
2 .Основание логарифма.
Решите уравнение:
Решение.
Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:
Данный урок разработан в системе уроков итогового повторения в 11 классе с целью актуализировать знания и умения учащихся решать логарифмические уравнения и неравенства. Хотя учащимся понадобятся знания по данной теме при выполнении небольшого количества заданий, тем не менее имеет смысл посвятить повторению этого материала хотя бы один урок. УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И СПОСОБОВ ДЕЙСТВИЙ В СОЧЕТАНИИ С ИХ КОМПЛЕКСНЫМ ПРИМЕНЕНИЕМ
В 11 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:
«РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»
НА ФЕСТИВАЛЬ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИДЕЙ «ОТКРЫТЫЙ УРОК».
ПОДГОТОВИЛА:
КОНСТАНТИНОВА О.Н.
Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств
Класс: 11
Цели урока:
Образовательные:
создать условия
для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств», систематизировать способы деятельности учащихся по применению комплекса знаний и способов действий в измененной и новой ситуациях, подготовка к ЕГЭ.
Развивающие:
развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.
Воспитательные:
воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.
Оборудование урока: компьютер, проектор, экран.
Ход урока:
Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ.
Учитель: Ребята, к сегодняшнему уроку я подобрала несколько высказываний известных философов – математиков и даже одного из полководцев. Думаю, что эти слова будут помогать нам в нашей с вами работе. Перед вами слова известного французского философа и математика Рене Декарта:
«Недостаточно только иметь хороший разум, но главное - это хорошо применять его».
Наши знания должны работать и принести положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у вас имеются диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.
Последуем совету Декарта и используем свои знания в устной работе.
II. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока:
а) актуализация опорных знаний
Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.
Давайте с вами ещё раз вспомним какие уравнения называются
логарифмическими
и заострим своё внимание на тех моментах, которые играют немаловажную роль при выполнении заданий.
log
3
(x+6) + log
3
(x-2) = 2 (два человека на отворотах доски).
а) 2
x
=3
б) 3
log
3
x
=5
в) 7
log
7
x2
=36
г) lg(2x+1)=lgx
д) lgx
2
=0
е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3
ж) log
2
(x-4)=3
з) log
3
(x+5)=0
и) log
8
(x
2
-1)=1
к) lg(x-5) =-2
л) log
3
x=5log
3
2-2log
3
2
м) log
2
(log
3
x)=1
н) log
π
(log
3
(log
2
x))=0
7) Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств?
8) Как решаются логарифмические неравенства вида
log
g(x)
f(x)>b, log
g(x)
f(x) 9) по вариантам решить неравенства (два человека на отворотах доски).
1 вариант.
log
0.3
(2x-4) >log
0.3
(x+1)
2 вариант.
lg (3x-7) ≤ lg(x+1)
4. Учащимся предлагается выполнить тест с последующей проверкой. Тест представлен на экране. После выполнения теста на экран выводится слайд с ответами.
Тест:
первый вариант
второй вариант
1.Решить уравнение:
log
0.5
(x
2
-4x-1) = -2
log
0.5
(x
2
-3x+10) = -3
1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4)-1и 2.
2.Укажите промежуток, которому принадлежит
корень уравнения:
log
2
(7+v) - log
2
(1-v) = 2 log
5
(t+5) – log
5
(t-11) = 1
1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16)
3. Решить неравенство:
Log
0.5
(2x+5) > -3 log
0.5
(2x-5)
1) Ø; 2) (-∞; 1,5); 3) (-2,5; 1,5); 4) (-2,5; +∞) 1) Ø; 2) (2,5; 4,5); 3) (4,5; +∞); 4) (-∞; 2,5)
4. Какое из предложенных чисел является решением неравенства:
log
√3.5
(x
2
-0,5) √2.5
(x
2
-6,5) > 2
1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2
После окончания работы учащиеся сдают тест на отдельных листочках, оставив при этом для проверки номера выбранных ответов. Далее учащимся предоставляется возможность проверить и оценить свою работу.
На экране следующий слайд:
Первый вариант 1 3 3 1
Второй вариант 2 4 3 4
Верно 4 задания - оценка «5»
3 задания - оценка «4»
2 задания - оценка «3»
Другие варианты - «нужно поработать»
III. Закрепление и применение знаний и способов действий.
После того, как вы справились с обязательным уровнем подготовки, предлагаю заняться более интересным делом (цитирую слова Р. Декарта)
«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать».
Предлагаю вам поразмышлять над следующими заданиями в группах. Как говориться «одна голова хорошо, а две – лучше».
Каждое ваше правильное решение поможет раскрыть одно мудрое изречение. (Дети работают с карточками в группах по 3-4 человека). Представитель каждой группы дает объяснение решения для всего класса.
На доске постепенно высвечивается высказывание А.В. Суворова
«Скорость нужна, а поспешность вредна».
Задания в группах:
1) Решить уравнение:
x
log
6
x/6
= 36
2) Решить неравенство:
log
2
3-x
(x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0
3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций:
y = log
0.3
(x
2
- x - 5) и y = log
0.3
(x/3).
б) учащимся предлагается выполнить дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой.
I вариант
1.Решить уравнение
log
2
0.5
x -log
0.5
x=6
2. Решить неравенство
lg
2
x+5lgx+9>0
II вариант
1.Решить уравнение
3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4
2. Решить неравенство
lg
2
x
2
+3lgx>1
III вариант
1.Решить уравнение
|1-log
1/9
x|+1 = |2- log
1/9
x|
2. Решить неравенство
log
4
2
x + log
4
√x > 1.5
Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу.
I вариант
1. ОДЗ: x >0, обозначим log
0.5
x=y
Y
2
-y-6=0
y
1
= -2 y
2
= 3
x
1
= 4 x
2
= 1/8
Ответ: x
1
= 4 x
2
= 1/8
2. ОДЗ: x >0, обозначим lg
x = y
y
2
+5y+9>0
y – любое
x >0
Ответ: x >0
II вариант
lg
x – 2 = y
3/y + 2/(y-1) = -4
4y
2
+ y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1
D = 49
y
1
= -1 y
2
= 3/4
x
1
= 10 x
2
= 100
4
√1000
Ответ: x
1
= 10 x
2
= 100
4
√1000
lg
x = y
4y
2
+ 3y – 1 = 0
D = 25
y
1
= -1 y
2
= 1/4
x
1
= 0,1 x
2
=
4
√10
Ответ: x Є (0; 0,1) U (4
√10; +∞)
III вариант
1 – log
1/9
x = y
| y |+1 = | 1+ y |
а) y
б) -1 ≤ y ≤ 0: -y + 1= 1 + y, y = 0
в) y >0: y + 1 = 1 + y, y >0
1 – log
1/9
x ≥ 0
log
1/9
x ≤ 1
x ≥ 1/9
Ответ: x ≥ 1/9
log
4
x = y
2y
2
+ y – 3 > 0
D = 25
y
1
= -3/2 y
2
= 1
log
4
x 4
x > 1
Ответ: x Є (0; 1/8) U (4; +∞)
Учащимся предлагается выставить оценку за самостоятельную работу.
IV.
Домашнее задание
:
Составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.
V
. Итоги урока. Рефлексия.
Ребята, вы выставили себе оценки за каждый этап урока. Найдите средний балл, это есть предварительный результат вашей работы на уроке.
Довольны ли вы собой, своей работой?
Поднимите, пожалуйста, руку те, чей средний балл «5» или «4». Это результат хороший.
Ребята, а с теми из вас, кто не доволен результатами своей работы по данной теме, у кого есть вопросы, мы с вами встречаемся на дополнительном занятии.
Благодарю вас за урок и до следующей встречи.
Приложения к уроку
Приложение № 1 – презентация
Приложение № 2 – диагностическая карта
Решите уравнения: а) 2 x =3 б) 3 log 3 x =5 в) 7 log 7 x2 =36 г) lg(2x+1)=lgx д) lgx 2 =0 е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3 ж) log 2 (x-4)=3 з) log 3 (x+5)=0 и) log 8 (x 2 -1)=1 к) lg(x-5) =-2 л) log 3 x=5log 3 2-2log 3 2 м) log 2 (log 3 x)=1 н) log π (log 3 (log 2 x))=0 Логарифмические неравенства Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств? Как решаются логарифмические неравенства вида log g (x) f (x)> b , log g (x) f (x) log 0.3(x +1) 2 вариант. lg (3 x -7) ≤ lg (x +1) первый вариант второй вариант 1.Решить уравнение: log 0.5 (x 2 -4x-1) = -2 log 0.5 (x 2 -3x+10) = -3 1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4) -1и 2. 2.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: log 2 (7+v) - log 2 (1-v) = 2 log 5 (t+5) – log 5 (t-11) = 1 1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16) 3. Решить неравенство: log 0.5 (2 x +5) > -3 log 0.5 (2 x -5) 2 1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2 Тест Ответы к тесту Первый вариант 1 3 3 1 Второй вариант 2 4 3 4 Верно 4 задания - оценка «5» 3 задания - оценка «4» 2 задания - оценка «3» Другие варианты - «нужно поработать» «Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать» Р. Декарт «Скорость нужна, а поспешность вредна» А.В. Суворов Задания в группах: 1) Решить уравнение: x log 6 x /6 = 36 2) Решить неравенство: log 2 3-x (x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0 3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций: y = log 0.3 (x 2 - x - 5) и y = log 0.3 (x/3). Самостоятельная работа I вариант 1.Решить уравнение log 2 0.5 x - log 0.5 x =6 2. Решить неравенство lg 2 x+5lgx+9>0 II вариант 1.Решить уравнение 3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4 2. Решить неравенство lg 2 x 2 + 3lgx > 1 III вариант 1.Решить уравнение |1- log 1/9 x |+1 = |2- log 1/9 x | 2. Решить неравенство log 4 2 x + log 4 √x > 1.5 Проверка самостоятельной работы. I вариант 1. ОДЗ: x >0, обозначим log 0.5 x = y y 2 - y -6=0 y 1 = -2 y 2 = 3 x 1 = 4 x 2 = 1/8 Ответ: x 1 = 4 x 2 = 1/8 2. ОДЗ: x >0, обозначим lg x = y y 2 +5 y +9>0 D 0 Ответ: x >0 Проверка самостоятельной работы. II вариант 1. ОДЗ: x >0, x ≠ 100 , x ≠ 100 0 lg x – 2 = y 3/ y + 2/(y -1) = -4 4 y 2 + y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1 D = 49 y 1 = - 1 y 2 = 3/4 x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 Ответ: x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 2. ОДЗ: x >0 lg x = y 4 y 2 + 3 y – 1 = 0 D = 25 y 1 = -1 y 2 = 1/4 x 1 = 0,1 x 2 = 4√10 Ответ: x Є (0; 0,1) U (4√10; +∞) Проверка самостоятельной работы. III вариант 1. ОДЗ: x >0 1 – log 1/9 x = y | y |+1 = | 1+ y | а) y 0: y + 1 = 1 + y, y >0 1 – log 1/9 x ≥ 0 log 1/9 x ≤ 1 x ≥ 1/9 Ответ: x ≥ 1/9 2. ОДЗ: x >0 log 4 x = y 2y 2 + y – 3 > 0 D = 25 y 1 = -3/2 y 2 = 1 log 4 x 1 x 4 Ответ: x Є (0; 1/8) U (4 ; +∞) «Ошибка одного- урок другому» Д. Рей Информация о домашнем задании Домашнее задание: составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом. Рефлексия деятельности Благодаря сегодняшнему уроку, я … Сегодняшний урок помог мне … Сегодня на уроке мне запомнилось … Сегодня на уроке мне больше всего понравилось … После сегодняшнего урока мне захотелось … Сегодня на уроке я узнал(а) … После сегодняшнего урока я буду знать … После сегодняшнего урока я хочу сказать … Сегодня на уроке я научился … Сегодняшний урок дал мне …
Равносильно неравенству (х-3)(х-2)2.
). Здесь t - независимая переменная, а - конкретное число, у - зависимая переменная, функция.
б) log 2 0,125 = – 3
а) log 0,5 0,5 = 1
а) lg 10000 = 5.
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 01, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.
2<
x
<4.
Скачать:
Предварительный просмотр: