Математика полна сюрпризов и парадоксов. Это те ситуации, когда в рамках той или иной математической теории доказываются два взаимно исключающих друг друга утверждения.
Самое Интересное предлагает вашему вниманию 7 самых противоречивых математических парадоксов.

Парадокс №1. Парадокс Монти Холла

Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, №1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, №3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас - не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь №2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
Решить парадокс Монти Холла в свою пользу можно простым способом – всегда менять выбранную дверь! После открытия первой двери, за которой скрывалась одна из коз, становится ясно, что машина прячется за одной из оставшихся двух дверей (хотя мы и не знаем, за какой именно). Большинство участников шоу не видят преимущества в смене двери, полагая, что их шансы на победу остались все те же – 33.3%. Однако это не так! На самом деле, шансы на выигрыш автомобиля после изменения первоначального выбора возрастают в два раза. Да, первоначально шансы выиграть авто равняются 33.3% при любом выборе, однако после открытия одной из дверей с козой, шансы того, что автомобиль скрывается за оставшейся, третьей дверью, - 66.6%.
Легче всего подсчитать эти вероятности, если представить, что вы выбираете между «своей» дверью (вероятность 33.3%) и комбинированными вероятностями двух оставшихся дверей (66.6% соответственно). Ведь когда вы выбираете одну из дверей, вероятность того, что автомобиль за какой-то из двух других, равняется 66.6% - и когда за одной из этих дверей оказывается коза, вероятность для оставшейся остается 66.6%.

Парадокс №2. 0,9999…=1

0,(9) или 0,999 («ноль и девять в периоде») - периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами, 1=0{,}(9).
У этого равенства существует несколько доказательств, основанных на теории пределов.
Одно из них:

Парадокс №3. Парадокс дней рождения

Парадокс дней рождения - утверждение, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50%. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99%, хотя 100% она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет - 367).
Такое утверждение может показаться противоречащим здравому смыслу, так как вероятность одному родиться в определённый день года довольно мала, а вероятность того, что двое родились в конкретный день - ещё меньше, но является верным в соответствии с теорией вероятностей. Таким образом, оно не является парадоксом в строгом научном смысле - логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.
Один из способов понять на интуитивном уровне, почему в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, состоит в осознании следующего факта: поскольку рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе, то эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, то общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть 23 × 22/2 = 253 пары. Посмотрев на это число, легко понять, что при рассмотрении 253 пар людей вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары будет достаточно высокой.
Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим - похожим, на первый взгляд, - случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.

Парадокс №4. Задача трех узников

Трое заключённых, A, B и С заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключённый A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключённого, кто точно будет казнён: «Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи имя B или C».
Стражник говорит заключённому A, что заключённый B будет казнён.
Заключённый A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3, как была до этого. Заключённый A тайно говорит заключённому С, что B будет казнен. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А - 1/3, а его вероятность выживания возросла до 2/3. Как такое может быть?
Неправильный ответ заключается в том, что заключённый A не получил информацию о своей собственной судьбе. Заключённый A до того, как спросить стражника, оценивает свои шансы как 1/3, так же как B и C. Когда стражник говорит, что B будет казнён, это всё равно, что вероятность того, что С помилован (вероятность 1/3) или A помилован (вероятность 1/3), и монета, выбиравшая между B и C, выбрала B. (Вероятность - 1/2; в целом вероятность того, что назван B - 1/6, поскольку A помилован). Поэтому, узнав, что B будет казнён, заключённый A оценивает шансы на помилование таким образом: его шансы теперь - 1/3, но теперь, зная, что B точно будет казнён, шансы С на помилование теперь 2/3.
Правильный ответ заключается в том, что после получения информации от стражника о казни В, шансы на помилования В равны нулю. Потому что только в двух случаях охранник мог произнести имя В - в случае помилования С и в случае, если подброшенная монетка выпала на В. Но какой из двух случаев определил указание охранником осуждённого В как такого, что будет казнён не известно. За условиями задачи, охранник не мог назвать имя заключённого А как такого, что будет казнён. Поэтому заключённый А ничего не узнал о собственной судьбе. Первоначальные условия его неизвестности не изменились. Изменились лишь условия для заключённых С и В. Первый еще имеет шанс на помилование, а второй уже точно будет казнён.

Парадокс №5. Закон Бенфорда

Закон Бенфорда или закон первой цифры гласит, что в таблицах чисел, основанных на данных источников из реальной жизни, цифра 1 на первом месте встречается гораздо чаще, чем все остальные. Более того, чем больше цифра, тем меньше вероятности, что она будет стоять в числе на первом месте.
Если же вы посмотрите на реальные цифры, то заметите, что «9″ встречается гораздо реже, чем в 11% случаев. Также куда меньше цифр, чем ожидалось, начинается с «8″, зато колоссальные 30% чисел начинаются с цифры «1″. Эта парадоксальная картина проявляется во всевозможных реальных случаях, от количества населения до цен на акции и длины рек.
Закон Бенфорда был открыт вовсе не Бенфордом, а американским астрономом Шимоном Ньюкомбом. Примерно в 1881 г. Ньюкомб заметил, что страницы тетради с логарифмическими таблицами, на которых числа начинались с 1, гораздо сильнее захватаны и истрепаны, чем страницы, на которых числа начинались с 2 и так далее до 9 – те выглядели чистыми, как будто их вообще не открывали. Ньюкомб предположил: те страницы, которые больше всего истрепались, чаще всего и открывали, и на основании своих наблюдений заключил: те ученые, которые до него брали тетрадь, работали с данными, отражавшими подобное распределение цифр. Закон же был назван по фамилии Франка Бенфорда, который в 1938 г. заметил то же самое, что и Ньюкомб, когда просматривал логарифмические таблицы в научно-исследовательской лаборатории «Дженерал Электрик» в г. Скенектади, штат Нью-Йорк. Он обнаружил, что частота появления цифры в качестве первой падает по мере того, как цифра увеличивается от одного до девяти. То есть «1″ появляется в качестве первой цифры примерно в 30,1% случаев, «2″ появляется около 17,6% случаев, «3″?-?примерно в 12,5%, и так далее до «9″, выступающей в качестве первой цифры всего лишь в 4,6% случаев.
Чтобы понять это, представьте себе, что вы последовательно нумеруете лотерейные билеты. Когда вы пронумеровали билеты от одного до девяти, шанс любой цифры стать первой составляет 11,1%. Когда вы добавляете билет № 10, шанс случайного числа начаться с «1″ возрастает до 18,2%. Вы добавляете билеты с № 11 по № 19, и шанс того, что номер билета начнётся с «1″, продолжает расти, достигая максимума в 58%. Теперь вы добавляете билет № 20 и продолжаете нумеровать билеты. Шанс того, что число начнётся с «2″, растёт, а вероятность того, что оно начнётся с «1″, медленно падает.

Когда-то Сократ сказал: «Я знаю, что ничего не знаю». Этим он дал понять своим ученикам, что любые знания и представления о мире и Вселенной стоит ставить под сомнение, пока они не будут подтверждены.

Мы сделали для вас подборку из 15 парадоксов (хотя на самом деле их очень много), которые изменят ваше представление о жизни.

Парадокс пути

Чтобы куда-то дойти, следует прошагать вначале половину пути, но сначала половину половины, а перед ней половину от этой половины и так бесконечно, значит, движение и не начиналось.

Благодаря этому утверждению Зенона Элейского появился один из парадоксов, который впоследствии привел ученых к выводу, что во взаимосвязи пространства и времени есть логические сложности. Так появилось понятие дихотомии.

Лишь в XIX веке была предложена математическая концепция данного утверждения, которая выглядела в виде следующей цепочки последовательностей: 0,5 + 1,2 + 1,8 + 1,16 - и так до бесконечности, которые все равно равны единице пути.

Парадокс стрелы

Не менее интересен вывод, сделанный Зеноном при виде летящей стрелы. Так как время состоит из моментов, равных 0 секунд, значит, и у летящей стрелы движение в каждый момент нулевое. Раз не было движения в один из моментов, значит, оно и не начиналось.

Сегодня подобные размышления древнего философа отнесли бы к современному восприятию квантовой механики. Например, в книге Кевина Брауна «Размышления об относительности» говорится, что, согласно этой теории, движущийся и статичный объекты всегда отличаются. Отличия касаются и их наблюдателей. В данном случае все участники опыта разнятся не только своими свойствами, но и восприятием окружающего мира.

Парадокс корабля Тесея

Не менее интересен парадокс, связанный с легендарным победителем Минотавра. Корабль, на котором Тесей вернул юношей и девушек домой с Крита, стал достопримечательностью в Афинах. Жители города со временем древесину, из которой он был сделан, заменили на новую, так как старая прогнила. Можно ли данный корабль по-прежнему считать судном Тесея, если почти все его части были заменены на новые?

Настолько ли Бог всемогущ?

Вопрос веры в существование Бога во все времена был спорным. А если он действительно настолько могуч, что может сотворить скалу, которую сам не способен поднять, то почему на свете существует зло?

Парадоксы о Боге заключаются еще и в том, что если он существует и при этом всеведущ, то как при этом у человека может быть свобода воли?

Удивительный рог

Если взять кривую y = 1/x и провернуть по горизонтальной оси, то получится фигура, названная «рог Гавриила». Параметры ее таковы, что она очень длинная, у нее невероятно большой, но конечный объем, тогда как площадь поверхности бесконечна.

Рог можно наполнить конечным количеством вещества, но чтобы покрасить его поверхность, потребуется бесконечное количество краски.

Гетерологический, значит "не описывающий себя"

Бертрам Рассел внес существенный вклад в развитие математической логики, создав этот парадокс. Примером гетерологического слова может служить термин «глагол», который не объясняет себя, так как по свой сути является существительным (при этом термин «существительное» таковым и является, то есть объясняет себя).

Другой пример: прилагательное «длинный» на самом деле не является длинным словом, тогда как «короткий», таковым и является.

Прилагательное «гетерологический» применимо к слову, которое само себя не описывает. В таком случае, к какой категории относится само прилагательное? Описывает ли оно свою суть?

Парадокс Йоссариана

Пилоты могут быть освобождены от боевой службы, если они психически больны, но не любой пилот, оставивший службу, является сумасшедшим.

Данный парадокс появился благодаря герою сатирического романа «Уловка-22» Джозефа Хеллера. Удивительным является понимание, что человек может получить то, чего хочет, только тогда, когда этого не желает. С подобным парадоксом столкнулся Йоссариан при прохождении проверки на профпригодность. Достаточно ему было обнаружить один парадокс, как он стал замечать их повсюду.

Каждое число чем-то интересно

Парадокс интересных чисел заключается в том, что в каждом из них есть что-то особенное. Например, 1 - это первое в ряду ненулевое число, 2 - самое маленькое простое число, 3 - первое нечетное простое и т. д. Таким образом, спустя тысячи комбинаций можно прийти к числу, в котором нет ничего особенного. Но парадокс в том, что само понятие «неинтересное число» делает его интересным.

Натаниэль Джонстон при исследовании квантовых вычислений отказался от понятия «интересный» в качестве интуитивно найденного, он ввел для целочисленных последовательностей, в которые входят все существующие комбинации цифр, выявление действительно интересного целого числа.

Так, первым неинтересным числом, цифры в котором не отображалась ранее ни в одной из последовательностей, стало 11630.

Парадокс клиентов бара

В баре всегда есть человек, уверенный, что если он пьет здесь, значит, и все присутствующие тоже пьют.

Парадоксом может стать даже пьянство. За его основу можно взять утверждение, что 1 человек, пьющий в баре, заставляет пить всех, кто в него пришел. Противоречие в том, что если все в баре пьют, но один отдельный клиент этого не делает, то при условии, что он выпьет, он сделает так, что вывод, что пьют все, станет верным.

Парадокс сферы

Из шара, разрезанного на конечное количество кусочков, можно собрать 2 шара одного размера.

Этот парадокс Банаха-Тарского - лишь математическая теория. Если взять круглый предмет и поломать на части, то из них можно собрать 2 меньших круглых предмета одинакового размера. Это касается деления такого геометрического тела, как сфера. Но если взять круглое яблоко и разрезать его на кусочки, то из них невозможно собрать 2 новых яблока одинаковых размеров.

Парадокс картофелины

100-граммовый картофель - это 99% воды, но если он усохнет до 98%, то вес его составит 50 г. Парадокс в том, что если выпарить из картошки воду до 98%, то на 1 г сухого вещества придется уже 2% веса. При этом, новый процент данного вещества будет соответствовать картофелине весом 50 г.

Парадокс совпадений

Если в комнате собрать 23 человека, то есть шанс, что у двоих из них дни рождения совпадают. Вероятность этого превышает 50%. В то же время, если в помещении всего 2 человека, то такова вероятность всего 1/365. При этом следует учитывать разницу в один день, если год високосный. У 3 человек шанс совпадения дней рождения равен 364/365 x 363/365 и т. д.

Парадокс дружбы в соцсетях

Большинство людей имеют меньше знакомых, чем у их друзей. Этот парадокс касается социальных сетей. Может, это удивительно, но это - математический факт: если изучить количество друзей у большинства людей в соцсетях, то их будет всего несколько. В то же самое время у нескольких людей добавлено в среднем большее количество друзей.

Парадокс перемещения во времени

Физика, работающего над машиной времени, посещает более старая версия его самого и дает нужные чертежи. Молодая версия по ним создает устройство. В процессе работы он становится своей старой версией, которая отправляется к более молодой.

Эта ситуация похожа на логический парадокс с убитым дедушкой, когда, вместо того чтобы вернуться, чтобы запретить себе возвращаться, объект поэтапно становится то молодой, то старой версией себя, путешествуя во времени. Этот парадокс использован в рассказе Роберта Хайлайна «По пятам».

Парадокс уникальности

По данным НАСА, полученным со спутника Kepler, во вселенной находится примерно 11 миллиардов планет земного типа. Означает ли это, что Земля не уникальна и где-то неподалеку (в космических масштабах) от нас есть жизнь, подобная нашей?

Человечество постоянно передает теле-, радио- и другие сигналы, которые уходят в космос. Значит, будь там кто-то, они бы тоже издавали звуки, но там тишина.

Если цивилизации существуют миллионы лет, то они должны были колонизировать галактики, что уже обнаружилось бы.

Парадокс Ферми в том, что сложные формы жизни крайне редко встречаются, а высокотехнологические цивилизации сами уничтожают себя либо войнами, либо техногенными катастрофами. Означает ли это, что жизнь на Земле, полной сложных форм, уникальна?

Быстро отложите свой кубик Рубика! Различные головоломки и пазлы часто бывают очень привлекательными и сильно затягивают. Но есть ещё и логические парадоксы – то есть логически корректные рассуждения, приводящие к взаимно исключающим выводам – и они могут быть не менее занятными.

Вот классический забавный пример под названием «Парадокс всемогущества», который на протяжении веков озадачивал многих мыслителей: раз Бог всемогущ, то сможет ли он сделать настолько тяжёлый камень, что даже Он не сможет его поднять? Способен ли субъект быть настолько всемогущим, чтобы создать нечто, что отрицает Его собственное всемогущество?

Есть и ещё один похожий пример на ту же тему: «Может ли Иисус создать такое острое буррито, что даже Он не сможет его съесть?» Пока вы думаете над этими парадоксальными вопросами, мы расскажем о десяти самых неожиданных логических головоломках, которые интересовали людей во все времена. (Не волнуйтесь, мы выбрали самые лёгкие, которые будут понятны каждому.)

10. Парадокс кучи

Давайте вернёмся чуть-чуть назад и заглянём в четвёртый век до нашей эры. В те времена жил Евбулид из Милета – человек, которого считают изобретателем парадоксов. Евбулид придумал четыре забавные головоломки, решение которых требует очень тщательных размышлений.

Парадокс кучи является первым из этих классических парадоксов, и речь в нём идёт о количественных характеристиках.

Если у человека на голове нет волос, то мы говорим, что он лысый. Человек, у которого на голове 10000 волос, не считается лысым. Что будет, если мы добавим один волос на голову лысого человека? Он всё равно останется лысым.

Теперь представим, что у человека всего 1000 волос. Но пряди равномерно распределены и очень тонкие. Будет ли этот человек лысым?

Считаете ли вы, что одно зёрнышко пшеницы – это «куча»? Определённо, что нет. Как насчёт двух зёрен? Наверное, тоже нет. Итак, в какой момент несколько зёрен становятся «кучей», а голова с редкими волосами начинает считаться лысой? Проблема заключается в неопределённости. Где проходит граница между одним и другим?

9. Парадокс лжеца

То, что я утверждаю сейчас – это ложь. Остановитесь на секунду и задумайтесь. Я сказал правду или соврал? Это называется парадокс лжецов, и он также был сформулирован Евбулидом. Этот простой пример может быть и в другой форме: «Это предложение – ложь» или «Я сейчас лгу».

Все эти утверждения противоречат сами себе: если я действительно лгу, тогда я сказал правду, но если я сказал правду, то моё высказывание лживо.

Так что думаете вы? Является ли это предложение ложью?

8. Парадокс бесконечного и конечного

Следующий парадокс был сформулирован философом по имени Зенон Элейский, который жил около 495-430 до нашей эры. Он придумал довольно много головоломок, которые до сих пор остаются неразрешимыми. Вы когда-нибудь задумывались о сходстве между микро- и макро- мирами? Вы когда-нибудь думали о том, что возможно, вся наша Вселенная – это всего лишь маленький атом во Вселенной более крупного существа?

Зенон хотел показать, что идея о множественности миров (которые сосуществуют бок о бок друг с другом во времени и пространстве) привела к некоторым серьёзным логическим несоответствиям. И это показывает Парадокс бесконечного и конечного. Если сосуществуют отдельные субстанции (вещи, миры), то что отделяет одно от другого? Где между ними граница?

Это часто также называют Парадоксом множественности. Его можно показать на примере множества объектов, но давайте остановимся на двух. Если существуют два вещества – то что их разделяет? Чтобы разделить два вещества, между ними должно присутствовать нечто третье.

В этом примере можно использовать множество веществ, но главную суть вы уже уловили. Итак, предположим, что существует единственный огромный объект, называемый Вселенной, который состоит из множества каких-то отдельных объектов. Они тоже делимы – но до какой степени? Будет ли это продолжаться вечно? Или существует какая-то предельно малая точка, при достижении которой деление становится уже невозможным? Лучшие научные умы человечества и сегодня продолжают думать над этим вопросом.

7. Парадокс дихотомии

Ещё одним классическим примером парадоксов, приписываемых авторству Зенона, является Парадокс дихотомии. Из своего рассуждения о расстоянии и движении Зенон сделал вывод, что на самом деле движение вообще невозможно. Так же, как и Парадокс множественности, этот пример основан на бесконечном делении.

Предположим, вы решили пойти в магазин и купить соду. Чтобы добраться туда, вам придётся сначала пересечь половину пути. Нет проблем, это утверждение вполне понятно. Но после этого вам предстоит пройти половину от оставшейся половины пути (т. е. три четверти расстояния от вашего дома до магазина). Затем вам ещё раз придётся преодолеть половину оставшегося, затем ещё раз, и так до бесконечности. С каждым разом вы будете преодолевать всё меньшее расстояние, а значит – в магазин вы никогда не попадёте.

Минутку. Мы все отлично знаем, что можем спокойно сходить в магазин и купить соду. Так как же это возможно? В какой момент мы преодолеваем последнюю половину последней половины пути? Кажется, Зенон был одержим этим вопросом. Где та черта, преодолев которую, мы оказываемся в магазине?

6. Ахиллес и черепаха

Ещё одна известная головоломка от Зенона касается Ахиллеса и черепахи, и она очень похожа на Парадокс дихотомии. В этом примере Ахиллес соревнуется с черепахой. Хорошо подготовленный парень Ахиллес (по совместительству – полубог) даёт черепахе 100-метровую фору. Ахиллес – чрезвычайно быстрый бегун, а черепаха… ну, она и есть черепаха.

Как только они стартуют, Ахилл бросается вдогонку черепахе. В мгновение ока он пересекает разделяющие их 100 метров – но черепаха за это время успевает отползти ещё на 10 метров, то есть Ахиллес пока ещё не догнал черепаху.

Ахиллес продолжает бежать и преодолевает ещё 10 метров. Но за это время черепаха отползает ещё на метр.

По этой логике, Ахиллес так никогда и не сможет догнать черепаху, ведь каждый раз, когда он приближается, черепаха отодвигается дальше. Означает ли это, что достижение цели невозможно в принципе – даже если мы ежедневно убеждаемся в обратном?

Мы предлагаем вам самим догадаться, что хотел показать Зенон этим примером.

5. Парадокс познания

Парадокс познания (он же парадокс Менона) был описан в «Диалогах» Платона. Менон вступает с Сократом в дискуссию о добродетели, что приводит к вопросам о методике познания. Если мы не знаем, чего мы не знаем, то как мы поймём, что именно нам следует узнать?

Получается, что если мы хотим узнать нечто, чего мы не знаем, то мы не можем и задать соответствующий вопрос? Следовательно, мы можем узнать новое, только наткнувшись на это случайно, и мы никогда ничего не узнаем, задавая вопросы, что явно является абсурдом. Вопросы – это фундамент любого научного исследования, и они всегда являются первым шагом в познании.

Как сказал Менон: «И как вы узнаете об этом, если вы будете совершенно не осведомлены о том, что это такое? Даже если вы случайно столкнётесь с этим, как вы узнаете, что это то, чего вы не знали?»

Сократ перефразировал этот парадокс следующим образом: «Человек не может искать ни то, что знает, ни то, чего он не знает. Он не может искать то, что знает, потому что если он это знает – то ему нет необходимости это узнавать, а если он этого не знает, то он не знает и того, что ему следует искать». Если мы знаем ответ на вопрос, который мы задаем, то что мы можем узнать нового, задавая вопросы?

4. Парадокс двойной лжи

Давайте перейдём к более современным игрушкам и рассмотрим занимательное продолжение «Парадокса лжеца» под названием «Парадокс двойной лжи». Начнём с той загадки, которую сформулировал математик Филипп Журден: возьмите карточку или лист бумаги. С одной стороны напишите: «Предложение на другой стороне этой карточки истинно». Теперь переверните её и напишите на другой стороне: «Предложение на другой стороне этой карточки ложно».

Если второе предложение истинно, то первое предложение является ложным. (Переверните карту.) Здесь вы в конечном итоге снова сталкиваетесь с бесконечным противоречием. Если первое предложение истинно, то второе получается ложным, но это противоречит первому предложению. Таким образом, оба предложения являются правильными и неправильными одновременно. Проверьте сами.

3. Парадокс Монти Холла

Вы могли это видеть во многих игровых шоу-программах. Скажем, есть три ящика. В двух из них лежит по кирпичу, но в третьем спрятан один миллион долларов. Вы можете выбрать ящик и посмотреть, выиграете ли вы миллион.

Предположим, вы выбрали ящик «А». И вы надеетесь на миллион. Затем ведущий открывает наугад любой другой ящик, предположим, «Б», и показывает, что там был кирпич. Остаётся два ящика, и ваши шансы улучшаются.

Вам остаётся выбрать между оставшимися двумя ящиками. И вы имеете право изменить свой первоначальный выбор. Поскольку вы не знаете, что лежит в вашем ящике, получается, что вы всё равно выбираете между двумя, и ваши шансы становятся 50х50, верно? Раз осталось всего два ящика, значит, и ваши шансы – один из двух, нет ничего проще? Неправильно.

Кажется (если вы не изменили своё первоначальное решение), что в данном случае будет нелогичным сказать, что ваши шансы всё ещё составляют один из трёх, но это так. Догадываетесь, почему?

2. Парадокс парикмахера

Ещё одним современным составителем парадоксальных головоломок является философ Бертран Рассел, автор Парадокса Рассела, одна из вариаций которого называется Парадоксом парикмахера. Головоломка проста: парикмахер говорит, что он бреет всех тех людей, которые не бреются сами. Вопрос: а кто же тогда бреет парикмахера?

Если он это сделает сам, то утверждение, что он бреет лишь тех, кто сам не бреется, перестанет соответствовать истине. А если он этого не сделает, то ложным будет утверждение, что он бреет всех, кто не бреется сам.

Несмотря на сложность, этот парадокс можно сравнить с бесконечным списком, в который мы вносим пункты о выполненных делах. Вы внесли в этот список пункт о том, что вы внесли пункт о внесении пункта в свой список?

1. Кот Шрёдингера

Существует ли Луна в те моменты, когда вы на неё не смотрите? И как вы можете в действительности это знать?

Перейдём к более глубокому логическому утверждению, которое, возможно, и не является парадоксом. Давайте поговорим о коте Шрёдингера. Идея заключается в том, что мы берём кота и помещаем его в звуконепроницаемую коробку. Теперь, если мы не открываем крышку, откуда мы можем знать, жив или мёртв кот?

Физик Эрвин Шрёдингер придумал этот логический пример в 1935 году. Он является иллюстрацией копенгагенской интерпретации квантовой механики: в те моменты, когда мы не наблюдаем за частицей (или веществом), они могут существовать во всех возможных состояниях. Мы можем делать выводы о её состоянии только в момент наблюдения.

В более сложной версии эксперимента кот помещается в ящик с банкой яда, и молотком, который разбивает стекло при срабатывании счётчика Гейгера, а также с источником радиации такой мощности, что вероятность срабатывания счётчика Гейгера в течение часа равна 50 процентам.

Наука может нам многое рассказать о коте и вероятности того, что радиация может запустить счётчик – но только обо всём по отдельности. Но наука ничего не сможет нам сказать о состоянии кота в данный момент, если мы не видим его своими глазами.

Таким образом, спустя час мы в теории можем одинаково утверждать, что животное живое и что оно мёртвое, что, как мы понимаем, абсурдно и невозможно. Это был серьёзный удар по доминирующим теориям того времени. Даже самые твёрдые физики начали переосмысливать свои идеи о квантовой механике.

В двух словах, каждый раз, когда вы смотрите на что-то (например, на стул), вы получаете определённый ответ относительно его состояния. (Он есть.) Когда вы поворачиваете голову, вы можете только предполагать, какова вероятность того, что он всё ещё находится на месте. Да, мы можем с уверенностью сказать, что стул никуда не ушёл. Но если вы этого не видите, то вы не знаете, что происходит в реальности. Итак, можем ли мы быть уверенными в каком-то явлении, которое лично не наблюдаем?

Вот более простая версия того же парадокса: «Если в лесу лежит упавшее дерево, и никто не видел, как оно падает, можем ли мы утверждать, что оно действительно упало?» Нильс Бор, другой физик того времени, сказал бы, что нет. Прежде всего, потому, что раз мы этого не видим – этого не существует. Так говорят наши знаменитые учёные. Забавно?

Специально для читателей моего блога сайт - перевёл Дмитрий Оськин по статье с сайта listverse.com

P.S. Меня зовут Александр. Это мой личный, независимый проект. Я очень рад, если Вам понравилась статья. Хотите помочь сайту? Просто посмотрите ниже рекламу, того что вы недавно искали.

Copyright сайт © - Данная новость принадлежит сайт, и являются интеллектуальной собственностью блога, охраняется законом об авторском праве и не может быть использована где-либо без активной ссылки на источник. Подробнее читать - "об Авторстве"

Вы это искали? Быть может это то, что Вы так давно не могли найти?

муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 2.

Наша жизнь – сплошная математика

(парадокс)

Гулевич Прохор Андреевич,

ученик 10 Б класса

МОБУ СОШ № 2.

Руководитель исследовательской работы:

Ширшова Елена Викторовна,

учитель математики МОБУ СОШ № 2

г. Свободный

2013г

Содержание

Введение ……………………………………………………………………3

Софизмы…………………………………………………………………… 3

Парадоксы………………………………………………………………… 4

Парадоксы нашей жизни………………………………………………… 6

Парадоксы в высказываниях………………………………………………8

Заключение………………………………………………………………… 8

Литература………………………………………………………………… 9

Введение

Одним из разделов математики является логика. Это наука о способах доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель.

Знакомясь с математической логикой, меня заинтересовали понятия «софизм» и «парадокс», тем более их, особенно – парадокс, используют и в повседневной жизни.

Да, жизнь парадоксальна. То, что кажется правильным на первый взгляд, оказывается в корне ошибочным после внимательного рассмотрения. На первый взгляд, Солнце вращается вокруг Земли. А фактически все обстоит ровно наоборот.

Читая газеты, смотря телевизор, я стал задумываться о парадоксах, происходящих в нашей жизни.

Цель моей работы : выяснить, действительно ли наша жизнь состоит из парадоксов.

На основе изложенного, выдвину гипотезу : вся наша жизнь – сплошной парадокс.

Исходя из цели и гипотезы, определим следующие задачи работы:

Изучить понятия «софизм» и «парадокс»

Рассмотреть примеры софизмов и парадоксов

Найти парадоксы в нашей жизни

Софизмы

Софизм – преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное. Софизм (от греч. «мастерство», умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) - ложное высказывание, которое, тем не менее, кажется правильным. В отличие от непроизвольной логической ошибки, софизм – это преднамеренное, замаскированное нарушение требований логики.

Исторически с понятием «софизм» неразрывно связывали задачу софиста- представить путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении наихудший вариант как наилучший, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде.

Я рассмотрел математические софизмы – удивительные утверждения, в доказательстве которых кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Этим они отличаются от парадокса.

Примеры:

А) 2 = 3

Доказательство: 10-10=0 и 15-15=0

10-10=15-15, вынесем за скобки 2 и 3

2(5-5)=3(5-5)

2=3, что и требовалось доказать.

Ошибка в том, что на ноль (5-5) делить нельзя.

Б) 4 = 5

Доказательство: 16 – 36 = 25 – 45

16 – 36 + = 25 – 45+

4= 5 Ошибка

В) Полупустая бочка равна полуполной - значит, пустая равна полной.

Выходит, что пустой равен полному .

Г) Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога. (софизм

Эвбулида)

Д) вес слона равен весу комара

Пусть х - вес слона, а у – вес комара. Обозначим сумму этих весов 2 n :

х+у=2 n

из этого равенства можно получить еще два:

x -2 n =- y и x =- y +2 n

перемножим эти два равенства x 2 -2 nx = y 2 -2 ny

прибавим к обеим частям последнего равенства по n 2 :

x 2 -2 nx + n 2 = y 2 -2 ny + n 2 или ( x - n ) 2 =( y - n ) 2

извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим: x – n = y - n , x = y ,

т.е. вес слона равен весу комара!

Ответ: эта нелепость получилась вследствие небрежности при извлечении квадратного корня.

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их логичность обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой. Аристотель называл софизмом

«мнимое доказательство», в котором обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа .

Исходя из приведенных выше примеров софизмов, а так же и многих других, их можно разделить на несколько групп.

1.Логические - основаны на нарушении правил рассуждения

2. Терминологические - заключаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы: «Все углы треугольника меньше 180 0 » в том смысле, что «каждый угол меньше 180 0 »; «все углы треугольника равны 180 0 » в смысле «сумма углов треугольника равна 180 0 »

С софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. Поэтому софизмы содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении. Иначе говоря, софизм- причина возникновения науки логики.

У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности.

Парадоксы

Парадокс (от греческого – неожиданный, странный) - ситуация, которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Это может быть не только ситуация, но и высказывание, утверждение, суждение или вывод. Иными словами, парадокс – рассуждение, которое как доказывает, так и отрицает то или иное суждение.

Парадокс – высказывание, расходящееся с общепринятым мнением, странное. Явление, кажущееся невероятным и неожиданным (словарь Ожегова).

Парадокс принято также считать антиномией (от греч. буквально- противоречие в законе). Парадокс - ситуация, когда в теории доказаны два взаимно исключающие друг друга суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами).

Теперь разберемся на примерах парадоксов: «Люди жестоки, но человек добр», «Все люди равны, однако, есть великие».

Парадокс очень близок к софизму. Их различает то, что парадокс -непреднамеренно полученный противоречивый результат.

Рассмотрим простой пример парадокса, связанного с исчезновением линий.

Начертим на прямоугольном листе бумаги десять вертикальных линий одинаковой длины и проведем пунктиром диагональ, как показано на рисунке 1. Этих линий ровно десять. Затем, разрежем прямоугольник по диагонали и сдвинем нижнюю часть влево вниз, как это показано на рисунке 2. Сосчитав число вертикальных линий, обнаружим только девять линий. Какая линия исчезла и куда? Если передвинуть левую часть в прежнее положение, то исчезнувшая линия появится снова. Что же происходит.

Рис 1 рис 2

А происходит следующее: восемь из десяти линий разрезаются пунктирной линией на два отрезка, и полученные шестнадцать отрезков «перестраиваются», образуя девять линий, каждая из которых чуточку длиннее первоначальных.

Парадокс стимулирует к новым исследованиям, более глубокому осмыслению теории, ее «очевидных» постулатов и нередко приводит к полному ее пересмотру.

Парадоксы нашей жизни

Хотелось бы провести параллель парадоксов с нашей жизнью. Ведь мы в повседневной жизни встречаемся с парадоксами.

Парадокс 1 - "Парадокс взрослости":

В школе:

Учителя ругают нас: «Убирайте телефоны, на уроках телефонами нельзя пользоваться», но сами регулярно пользуются телефонами, чтобы посмотреть время, ответить на срочный звонок или на смс. Или вот еще пример, когда у учителя совсем кончилось терпение: «Вася Пупкин (например), хватит баловаться, а то голову оторву», но ведь это невозможно. Учителя не любят, когда мы опаздываем на уроки, но сами-то всегда задерживаются хотя бы на минуту.

На олимпиадах мы встречаем задания по темам, которые еще не проходили.

Учитель истории рассказывала нам, как однажды случайно попали карточки (контрольные работы) шестиклассников к одиннадцатиклассникам – старшеклассники не справились с заданиями. Парадокс

В детстве многие часто слышат от родителей: "Ну когда же ты повзрослеешь и станешь самостоятельным?" - ну, это и понятно: совмещение работы и ухода за маленьким ребенком - дело весьма непростое, но весь парадокс в том, что когда подрастающий ребенок начинает отстаивать свое мнение и претендовать на равенство позиций, то родителей это начинает бесить: "Да как ты с родителями разговариваешь?! Мал еще, чтоб с нами спорить!"... Так в итоге, взрослеть или не взрослеть?

В учебных заведениях еще круче:

Учителя обязывают нас выполнять задания и посещать уроки/пары, но когда мы используем нетрадиционный подход к выполнению заданий и пытаемся отстоять свою, отличную от учительской точку зрения, то сразу же натыкаемся на раздражение педагога и слышим от него речи о своем бесправии...

Парадокс 2 "Парадокс толерантности" :

Как не странно, но чаще всего люди, которые кажутся простыми, совсем не простые. А те, которые кажутся сложными, гораздо проще, чем ты думаешь… Парадокс…

Современное демократическое общество провозглашает себя толерантным. Оно интересуется людьми с ограниченными возможностями и борется с расовой дискриминацией, но не имеет никакой толерантности к людям со слабыми нервами. Посудите сами: всюду принцип конкуренции, рейтинговые системы, соперничество, быстрый темп жизни, высокие требования по стрессоустойчивости - выдержать это могут только крепкие нервы! Любая работа и учеба - стресс. Кто справляется, тот успешен, у кого не выдерживают нервы, тот слабак и неудачник. А, между тем, всякий из нас имеет право на счастье! Что за новая дискриминация людей по признаку стрессоустойчивости? Почему в нашем веке такие условия, в которых выжить может только тот, у кого крепкие нервы? Где толерантность и гуманизм?

Люди со слабыми нервами - тоже люди, и они тоже заслуживают нормальной жизни! Если они неуспешны в постоянной суете - это не значит, что они бездари. В спокойной обстановке они могли бы проявить себя, раскрыть свои таланты и сделать очень многое. Так что это за мир, в котором для одних есть все условия, а для других - нет?

Парадокс 3 - "Парадокс цинизма и доброты":

Мы пугаемся внимания от незнакомых людей, забывая, что все мы- прежде всего люди. Каждый – это человек, неважно насколько он нам близок. Мы можем помогать, можем заботиться о любом живом существе, и в то же время не справиться о здоровье друга или коллеги.

Мы придумываем праздники, но не можем радоваться окружающему миру, природе, птицам и цветам. Мы живем в будущем, строя планы на месяц, на год, но теряем тот единственный момент, который бесценен - момент настоящего, здесь и сейчас.

Мы всегда находим себе оправдание за цинизм и пофигизм, но всегда обижаемся на других, когда они проявляют это по отношению к нам. И даже если мы пытаемся понять, почему люди не могут и не хотят быть добрыми, то все равно, где-то в глубине души ждем, что для нас они сделают исключение.

Люди хотят мира во всем мире, но при этом продолжают совершенствовать оружие.

Парадоксов в России хватало всегда. Нередко задаем себе вопросы: почему принят тот или иной закон, кто рассчитывает стоимость потребительской корзины, кто настаивает на сокращении уроков литературы в школе? И так далее, и тому подобное.

Вот еще один из парадоксов. В нынешнем году Донской государственный аграрный университет стал лауреатом конкурса лучших высших учебных заведений России. И практически тут же попал в списки учебных заведений, имеющих признаки неэффективности, в числе еще трех вузов области.

Парадоксы в высказываниях

Почему-то самые долгожданные события происходят именно тогда, когда их меньше всего ждёшь.

Тратим больше, но имеем меньше, покупаем больше, но радуемся меньше.

Имеем лучшее образование, но меньше разума, лучшие знания, но хуже оцениваем ситуацию, имеем больше экспертов, но и больше проблем, лучшую медицину, но хуже здоровье.

Знаем, как выжить, но не знаем, как жить.

Чем больше число миллиардеров в стране, тем ниже жизненный уровень большинства населения.

Чем больше обещаний дают кандидаты в депутаты, тем меньше выполняется этих обещаний.

Чем меньше объём социальных гарантий в стране, тем выше уровень коррупции в ней.

В России, чтобы не нарушали правила дорожного движения двойную сплошную надо делать ещё и двухметровой высоты!

Надкусив яблоко, всегда приятнее увидеть в нем целого червяка, чем его половинку…

Просто удивительно, насколько важна ваша работа, когда нужно отпроситься с нее, и насколько она маловажна, когда вы просите прибавки в зарплате.

Парадоксы нашей жизни: Чем больше сыра, - тем больше дырок. Но, с другой стороны, чем больше дырок, - тем меньше сыра…

Заключение

Исследуя и анализируя софизмы и парадоксы, я пытался выяснить, действительно ли наша жизнь состоит из парадоксов.

Люди думают о конце света всего человечества, не замечая конца света в своей душе ; заботятся о глобальном потеплении, забывая утеплить свое сердце. Странно, но порой возникает ощущение, что все становится с ног на голову. Люди проходят с равнодушными лицами мимо лежащего человека на улице, но устраивают благотворительные концерты, на подготовку которого уходит невероятное количество времени и денег; мечтают о семье, карьере, но остаются слепы к окружающим. Люди стремятся заполучить все самое лучшее, но не могут сделать приятную мелочь для незнакомого человека. Парадокс…

Противоречия, на основании которых больше всего встречается парадоксов нашей жизни:

Отцы и дети (как быть самостоятельным и не испортить отношения с родителями)

Жить или не жить (как быть счастливым не тратя свои таланты на одно лишь выживание)

Как сердечно ко всем относится, когда постоянно "гадят в душу".

Итак, считаю, что выдвинутая мной гипотеза о том, что вся наша жизнь – сплошной парадокс, нашла свое подтверждение.

Мы живем в парадоксальном мире.

Жизнь состоит из парадоксов, парадоксы являются причиной появлением науки логики, логика – это раздел математики. Значит, наша жизнь – сплошная математика.

Литература

М. Гарднер Математические чудеса и тайны – М., Наука, 1978 – 127 с.

Е. И. Игнатьев В царстве смекалки – М., Наука, 1984 – 189 с.

В статье рассказывается о том, что такое парадокс, приводятся их примеры и рассматриваются наиболее частые их разновидности.

Парадокс

С развитием науки в ней появились такие направления, как, к примеру, логика и философия. Относятся они к ряду гуманитарных, и на первый взгляд может показаться, что в отличие от дисциплин, которые изучают окружающий нас мир (биология, физика, химия), они не столь значимы. Однако это не так. Правда, у людей наиболее часто эти дисциплины ассоциируются с парадоксами различного рода, что отчасти верно. Но справедливости ради стоит упомянуть, что парадоксы как таковые встречаются и в иных областях науки. Так что такое парадокс и каким он может быть? В этом мы и разберемся.

Определение

Само слово «парадокс» произошло из древнегреческого языка. Что вполне логично, ведь именно времена Римской империи и Древней Греции считаются рассветом таких наук, как логика и философия, которые занимаются разбором парадоксов наиболее часто. Так что такое парадокс?

Понятие имеет несколько похожих определений. К примеру, в повседневном понимании парадокс - это ситуация, которая может существовать в реальности, но при этом совсем не иметь логического объяснения, или же суть его сильно затруднена для восприятия и размыта.

Если рассматривать значение данного слова в логике, то это формально-логическое противоречие, которое становится таковым в силу каких-то особых или необычных условий. Теперь мы знаем, что такое логические парадоксы.

Суть

Если рассматривать это понятие в широком смысле, то обычно под ним понимают суждения, высказывания и иные ситуации, которые сильно расходятся с привычным мнением и кажутся объективно или субъективно очень нелогичными. Правда, логика постепенно появляется, если начать разбирать предмет обсуждения более подробно. Но при этом важно помнить - в отличие от афоризма, парадокс поражает именно неожиданностью и четкой логической составляющей.

Но рассмотрим более подробно парадоксы в логике.

Логика

Если говорить кратко, то логический парадокс - это своеобразное противоречие, которое имеет форму конкретного, четкого и логически правильного вывода, но при этом оно представляет собой рассуждение, которое приводит к образованию двух или более заключений, исключающих друг друга. Так что теперь мы знаем, что такое парадокс.

Существуют также несколько разновидностей логических парадоксов - апория и антиномия.

Последняя характеризуется наличием двух суждений, которые противоречат друг другу, но при этом оба они одинаково доказуемы.

Апория же выражается наличием аргумента или нескольких аргументов, которые сильно противоречат здравому смыслу, привычному мнению общественности или чему-то еще очевидному. И аргументы эти являются четкими и доказуемыми.

Наука

В науках, которые используют логику в качестве одного из инструментов познания, порой происходят ситуации, когда исследователи наталкиваются на противоречия теоретического рода или же противоречия, которые появились из следствия теории с вербальным, практическим результатом того или иного опыта. Правда, подобное не всегда является парадоксом в чистом виде, иногда такое происходит в результате обычных ошибок, несовершенства нынешних знаний, методов их получения или неточности инструментов.

Тем не менее наличие парадокса всегда являлось дополнительным стимулом того, чтобы более детально разобраться в кажущейся очевидной теории и некоторых ее якобы очевидных доказательствах. Иногда это приводило к тому, что даже устоявшиеся и четкие теории подвергались полному пересмотрению. Теперь мы знаем суть такой вещи, как парадокс. Примеры некоторые рассмотрим чуть ниже.

Фотометрический парадокс

Он относится к разряду космологических. Смысл его заключается в вопросе о том, почему ночью темно, если все бесконечное космическое пространство наполнено излучающими свет звездами? Если это так, то тогда в каждой точке ночного неба обязательно будет какое-то далекое светило, и оно будет точно не черным.

Правда, данный парадокс со временем был решен. Для этого нужно учесть конечный и конечность скорости света, а значит, часть Вселенной, что доступна для просмотра, обязательно будет ограничена так называемым горизонтом частиц.

В логике и философии

Подобные парадоксы жизни встречались многим людям, как в повседневных размышлениях, так и в различных книгах и учебниках. К примеру, одним из наиболее популярных является парадокс Бога. Ведь если допускать, что он всемогущ, то способен ли он создать камень, который сам же и не сможет сдвинуть с места?

Второй, тоже встречающийся очень часто, основан на философии. Смысл его в том, что люди почти никогда не ценят то, что имеют, а ценить начинают лишь после потери.

Как видим, парадоксы - это очень многогранные явления, которые есть в различных областях науки и жизни.