Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

Определение 1

Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Пример 1

Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .

Решение

Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14 .

Вычислим НОК: НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Ответ: НОК (126 , 70) = 630 .

Пример 2

Найдите нок чисел 68 и 34 .

Решение

НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

Ответ: НОК (68 , 34) = 68 .

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

Определение 2

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

• составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
• исключаем их полученных произведений все простые множители;
• полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.

Пример 3

У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .

Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .

Пример 4

Найдите НОК чисел 441 и 700 , разложив оба числа на простые множители.

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100 .

Ответ: НОК (441 , 700) = 44 100 .

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Определение 3

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

• разложим оба числа на простые множители:
• добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
• получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

Пример 5

Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5 и 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . К произведению множителей 3 , 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Это и есть НОК чисел 75 и 210 .

Пример 6

Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .

Решение

Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
3 числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 . Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 ​​​​​​ ​.

Ответ: НОК (84 , 648) = 4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теорема 1

Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k . НОК m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Пример 7

Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .

Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .

Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .

НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .

Ответ: НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Определение 4

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

• раскладываем все числа на простые множители;
• к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
• к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
• полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

Пример 8

Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение

Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

Ответ: НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Пример 9

НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .

Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и − a – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа − a .

Пример 10

Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145 и − 45 .

Решение

Произведем замену чисел − 145 и − 45 на противоположные им числа 145 и 45 . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

Получим, что НОК чисел − 145 и − 45 равно 1 305 .

Ответ: НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти НОК (наименьшее общее кратное)

Общее кратное для двух целых чисел - это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18 , 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2 . Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем".
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.

Пример . Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.

Шаги

Ряд кратных чисел

Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.

• Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.

1. Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения..

   • Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.

   • Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.

3. Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.

   • Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.

   Разложение на простые множители

   1. Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.

      • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.

   2. Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.

      • Например, 2 × 10 = 20 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 10=20} и 2 × 5 = 10 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times {\mathbf {5} }=10} . Таким образом, простыми множителями числа 20 являются числа 2, 2 и 5. Запишите их в виде выражения: .

   3. Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.

      • Например, 2 × 42 = 84 {\displaystyle {\mathbf {2} }\times 42=84} , 7 × 6 = 42 {\displaystyle {\mathbf {7} }\times 6=42} и 3 × 2 = 6 {\displaystyle {\mathbf {3} }\times {\mathbf {2} }=6} . Таким образом, простыми множителями числа 84 являются числа 2, 7, 3 и 2. Запишите их в виде выражения: .

   4. Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).

      • Например, общим для обоих чисел является множитель 2, поэтому напишите 2 × {\displaystyle 2\times } и зачеркните 2 в обоих выражениях.
      • Общим для обоих чисел является еще один множитель 2, поэтому напишите 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} и зачеркните вторую 2 в обоих выражениях.

   5. К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.

      • Например, в выражении 20 = 2 × 2 × 5 {\displaystyle 20=2\times 2\times 5} зачеркнуты обе двойки (2), потому что они являются общими множителями. Не зачеркнут множитель 5, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 {\displaystyle 2\times 2\times 5}
      • В выражении 84 = 2 × 7 × 3 × 2 {\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2} также зачеркнуты обе двойки (2). Не зачеркнуты множители 7 и 3, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3} .

   6. Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 {\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420} . Таким образом, наименьшее общее кратное 20 и 84 равно 420.

   Нахождение общих делителей

   1. Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.

      • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.

   2. Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.

      • Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.

   3. Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.

      • Например, 18 ÷ 2 = 9 {\displaystyle 18\div 2=9} , поэтому запишите 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 {\displaystyle 30\div 2=15} , поэтому запишите 15 под 30.

   4. Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.

      • Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.

   5. Разделите каждое частное на второй делитель. Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.

      • Например, 9 ÷ 3 = 3 {\displaystyle 9\div 3=3} , поэтому запишите 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 {\displaystyle 15\div 3=5} , поэтому запишите 5 под 15.

   6. Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.

   7. Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.

      • Например, числа 2 и 3 находятся в первом столбце, а числа 3 и 5 находятся в последней строке, поэтому операцию умножения запишите так: 2 × 3 × 3 × 5 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5} .

   8. Найдите результат умножения чисел. Так вы вычислите наименьшее общее кратное двух данных чисел.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 {\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90} . Таким образом, наименьшее общее кратное 18 и 30 равно 90.

   Алгоритм Евклида

   1. Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.

      • Например, в выражении 15 ÷ 6 = 2 {\displaystyle 15\div 6=2} ост. 3:
        15 – это делимое
        6 – это делитель
        2 – это частное
        3 – это остаток.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20: 5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20: 4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20 ).

Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8: 4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8 ).

Данные дроби не являются несократимыми.

Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80: 16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80: 20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80 ).

Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30: 5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30: 6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30: 15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30 ).

Страница 1 из 1 1

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э. Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.