На что делится 13 и 3. Теперь я бы хотел показать несколько других признаков делимости и не только на простые числа, но и на составные
Золоева Алана, Волкова Николь
В работе показаны приемы графического умножения многозначных чисел, а также признаки делимости на 7, 11, 13, 17,19.23 и др. Можно использовать на уроках математики в 5-6 кл.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Проект по математике «В мире чисел» На тему: “ Признаки делимости ” учениц 6Б класса лицея №597 Золоевой Аланы и Волковой Николь
О признаках делимости Признак делимости – это правило, которое позволяет быстро определить кратность числа заданному. С древности и простые люди, и учёные интересовались признаками делимости чисел и находили их. Но особый вклад в изучение признаков делимости внёс французский математик Блез Паскаль.
Признак Паскаля Признак Паскаля – это признак делимости для всех натуральных чисел, то есть деление. Также, Блез Паскаль открыл признаки делимости натуральных чисел на определённые натуральные числа. Любое число a разделится на любое число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.
Графическое умножение. Двузначные числа. Существует очень удобный способ умножения, графическое умножение. Допустим, нам надо умножить 32 на 21 . Рисуем линии, начинаем с числа 32. Рисуем 3 линии наискосок с правого верхнего угла в левый нижний, а чуть пониже, параллельно им, 2 линии. Затем число 21: проводим 2 линии слева, пониже, и 1 справа, повыше. Отмечаем точки пересечения линий, считаем их в каждой «зоне», и получаем результат. У нас получается вот такая схема:
Графическое умножение. Многозначные числа. Многозначные числа умножаются графическим способом также, как и двузначные, но суммой точек в 1 «зоне» часто являются двузначные числа. В таких случаях первая цифра двузначного числа прибавляется к предыдущему числу. Например, мы умножаем 123 на 412 . Вот такая получится схема:
Число 4 Натуральные трёхзначные и большие числа делятся на 4 только тогда, когда две последние их цифры нули или кратны 4. Например, число 497764. Оно делится на 4, так как на 4 делится 64 , то есть 2 последние цифры данного числа. Двузначные натуральные числа делятся на 4 только тогда, когда сумма удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 4 . Взять то же число 64. 6∙2= 12 и + 4 = 16 , поэтому 64 делится на 4.
Число 6 Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 одновременно, а также когда учетверённое число десятков при сложении с числом единиц делится на 6 . Например, число 144 делится на 6, так как на 6 делится 14∙4+4=60 .
Число 7 Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7 . Например, число 154 делится на 7, так как на 7 делится 15∙3+4=49 .
Число 8 Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8 . Например, число 952 делится на 8, так как на 8 делится 2+5∙2+9∙4=48 .
Число 11 1 признак: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётную позицию и занимающих чётную делится на 11 . Например, число 10538. 1+5+8=14, 0+3=3, 14-3=11. │11 │ =11, а 11 делится на 11, значит число 10538 тоже делится на 11. 2 признак: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по 2 цифры, начиная с единиц. Например, число 10593. 93+5+1=99, 99 кратно 11 , значит число 10593 тоже кратно 11.
Число 13 Число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13 . Например, число 845 делится 13, так как на 13 делятся 84+5∙4=104 и 10+4∙4=26 .
Число 17 Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17 . Например, число 221 делится на 17, так как | 22-5 ∙ 1 |=17 .
Число 19 Число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19 . Например, число 646 делится на 19, так как 64+6*2=76 и 7+6*2=19 .
Число 23 Число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23 . Например, число 391 делится на 23, так как на 23 делятся 39+1 ∙ 7=46 делится на 23 .
Число 25 Число делится на 25 тогда, когда число, образованное 2 его последними цифрами, делится на 25 . Например, число 1765375. 75 делится на 25 , значит данное число тоже кратно 25.
Число 99 Число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по 2 цифры, начиная с единиц. Например, число 64449. 49+44+6=99, 99 кратно 99 , поэтому и 64449 кратно 99.
Число 101 Число делится на 101 тогда, когда модуль суммы чисел, образующих нечётные группы по 2 цифры, (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и образующих чётные группы по 2 цифры, взятых со знаком «-», делится на 101 . Например, число 363297. │97+36-32 │=101 , значит данное число кратно 101.
Спасибо за внимание!
Добрый день!
Сегодня мы продолжим рассматривать признаки делимости.
И начнём мы вот с чего:
Берём последнюю цифру числа, удваиваем её и вычитаем из числа, которое осталось без этой последней цифры. Если разность делится на 7, значит всё число делится на 7. Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 7.
Пример: 298109.
1-й шаг. Берём 9, умножаем её на 2 и производим вычитание:
29810-18=29792.
2-й шаг. 29792. Берём 2, умножаем её на 2 и производим вычитание:
2979-4 = 2975.
3-й шаг. 2975. Берём 5, умножаем на 2 и производим вычитание: 297-10=287.
4-й шаг. 287. Берём 7, умножаем на 2 и производим вычитание 28-14=14. Делится на 7.
Значит всё число 298109 делится на 7.
Ещё пример. Число 1102283.
1-й шаг. 110228-3*2 = 110222
2-й шаг. 11022-2*2 = 11018.
3-й шаг. 1101-8*2 = 1085.
4-й шаг. 108-5*2 = 98.
5-й шаг. 9-8*2 = -7. Делится на 7. Значит, 1102283 делится на 7.
Признак делимости на 13.
Берём последнюю цифру числа, умножаем её на 4 и складываем с числом без последней цифры. Если сумма делится на 13, значит все число делится на 13.
Это действие можно продолжать сколь угодно много раз до того момента, пока не станет понятно: делится или нет число на 13.
Пример: Число 595166.
1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540
2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954
3-й шаг. 595 + 4*4 = 611
4-й шаг. 61 + 1*4 = 65
5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 595166 делится нацело на 13.
Ещё пример. Число 10221224.
1-й шаг. 1022122 + 4*4 = 1022138
2-й шаг. 102213 + 8*4 = 102245
3-й шаг. 10224 + 5*4 = 10244
4-й шаг. 1024 + 4*4 = 1040
5-й шаг. 104 + 0*4 = 104
6-й шаг. 10 + 4*4 = 26. Делится на 13.
Значит, число 10221224 делится нацело на 13.
Теперь я бы хотел показать несколько других признаков делимости и не только на простые числа, но и на составные.
Признак делимости на 11.
Возьмём число и сложим все цифры, которые стоят на нечётных местах. Затем сложим все цифры числа, которые стоят на чётных местах.
Если разность между первой суммой и второй кратна 11, то всё число делится на 11.
При этом разность может быть как положительна, так и отрицательна.
Примеры: 160369
(Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах
1+0+6 = 7.
Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.
18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).
Ещё пример: 7527927
(7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
Число 7527927 делится на 11).
Признак делимости на 15.
Число 15 — составное. Его можно представить в виде произведения простых множителей, а именно 5 и 3.
А мы уже знаем Значит, число делится на 15, если
1. — оно заканчивается на 0 или 5;
Пример: 36840
(Число оканчивается на 0; сумма цифр его равна 3+6+8+4 = 21. Делится на 3.) Значит, все число делится на 15.
Ещё пример: 113445
Число оканчивается на 5; сумма цифр его равна 1+1+3+4+4+5 = 18. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 15.
Признак делимости на 12.
Число 12 — составное. Его можно представить в виде произведения следующих множителей: 4 и 3.
Значит, число делится на 12, если
1. — 2 последние цифры его делятся на 4;
2. — сумма цифр его делится на 3.
Примеры: 78864
(Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33. Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
Ещё пример: 943908
(Две последние цифры — 08. Число, составленное из этих цифр, делится на 4; сумма цифр равна 9+4+3+9+0+8 = 33.
Делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Например:
2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2
, так как последняя цифра этих чисел четная;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2
, так как последняя цифра этих чисел нечетная.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Например:
471 — делится на 3
, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3;
532 — не делится на 3
, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.
Например:
4576 — делится на 4
, так как число 76 (7·2+6=20) делится на 4;
9634 — не делится на 4
, так как число 34 (3·2+4=10) не делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.
Например:
375, 5680, 233575 — делятся на 5
, так как их последняя цифра равна 0 или 5;
9634, 452, 389753 — не делятся на 5
, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.
Например:
462, 3456, 24642 — делятся на 6
, так как они делятся одновременно и на 2 и на 3;
6
, так как 861 не делится на 2, 3458 не делится на 3, 34681 не делится на 2.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 , если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.
Например:
Число 296492
Берем последнюю цифру "2", удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "5", удваиваем, получаем 10. Вычитаем 2964-10=2954. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "4", удваиваем, получаем 8. Вычитаем 295-8=287. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру "7", удваиваем, получаем 14. Вычитаем 28-14=14. Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на 7
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Например:
952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4+5*2+2=48
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Например:
468, 4788, 69759 — делятся на 9
, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не делятся на 9
, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.
Например:
460, 24000, 1245464570 — делятся на 10
, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10
, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.
Признак делимости на 11
Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.
Например, 9163627 делится на 11, так как делится на 11.
Другой пример — 99077 делится на 11, так как делится на 11.
Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся и
Признак делимости на 13
Признак 1: Число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся и
Признак 2: Число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.
Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Число делится на 17 тогда, когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится на 17.
Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся и
Признак делимости на 20
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
Признаки делимости на 23
Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.
Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и
Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.
Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.
Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 27
Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 29
Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.
Признак делимости на 30
Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.
Например: 510 делится на 30, а 678 - нет.
Признак делимости на 31
Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.
Признак делимости на 37
Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.
Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.
Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится
Признак делимости на 41
Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.
Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.
Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.
Признак делимости на 50
Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.
Признак делимости на 59
Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и
Признак делимости на 79
Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .
Признак делимости на 99
Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится
Признак делимости на 101
Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.
Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится
Признак делимости
При́знак дели́мости - правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).
Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления:
Признак делимости на 2
Признак делимости на 3
Признак делимости на 4
Признак делимости на 5
Признак делимости на 6
Признак делимости на 7
Признак делимости на 8
Признак делимости на 9
Признак делимости на 10
Признак делимости на 11
Признак делимости на 12
Признак делимости на 13
Признак делимости на 14
Признак делимости на 15
Признак делимости на 17
Признак делимости на 19
Признак делимости на 23
Признак делимости на 25
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10 n − 1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n − 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n − 1 .
Признак делимости на 10 n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр -