Сумма противоположных. Противоположные числа. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Рассмотрим такой пример. Нужно последовательно посчитать: .

Можно переставить вперед числа, которые необходимо складывать, а затем выполнить вычитание оставшихся: .

Но это не всегда удобно. Например, мы можем вычислять остаток вещей на каком-нибудь складе и нам необходимо знать промежуточный результат.

Можно выполнять действия и подряд: .

Мы знаем, что , значит, результатом будет вычитание из числа . Это значит, что надо вычесть , но пока не из чего. Когда будет из чего вычесть, вычтем:

Но мы можем «схитрить» и обозначить . Таким образом, мы введем новый объект - отрицательные числа .

Такую операцию мы уже проделывали - в природе, например, числа «» тоже не существовало, но мы ввели такой объект, чтобы облегчить запись действий.

Представьте, что нам на спортивном складе поручили выдавать и принимать мячи. Нам нужно вести учет. Можно писать словами:

Выдал , Принял , Выдал , Принял , … (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Учет

Согласитесь, если выдавать и принимать за день нужно много раз, то запись не очень удобная.

Можно разделить лист на две колонки, одна - Принял, другая - Выдал. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Упрощенная запись

Запись стала короче. Но вот проблема: как понять, сколько мячей взяли (или отдали) в какой-то конкретный момент времени?

Можно использовать для записи следующее соображение: когда мы выдаем со склада мячи, то их количество на складе уменьшается, а когда принимаем, то увеличивается.

Но как записать «выдал мяча»? Можно ввести такой объект: .

Это объект позволяет нам сделать математическую запись движения мячей в том порядке, как это происходило:

Рассмотрим еще один пример.

На счету вашего телефона рублей. Вы вышли в Интернет, и это стоило рублей. Получился долг рублей. Оператор мог так и записать: «клиент должен рублей». Вы положили рублей. Оператор вычел долг. Получилось на счету рублей.

Но удобно записывать и операции и деньги на счету с помощью знаков «» и «». (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Удобная запись

Отрицательное число мы вводим, чтобы записать результат вычитания из меньшего числа большего: .

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию: .

Чтобы отрицательные числа отличать от положительных чисел, с которыми мы имели дело раньше, перед ним договорились ставить знак минус: .

Можно было бы обойтись без них? Да можно. В каждой конкретной ситуации мы бы использовали слова «назад», «в долг» и так далее. Но они, эти слова, были бы разные.

А так у нас появляется универсальный удобный инструмент. Один для всех таких случаев.

Можем провести аналогию с автомобилем. Он состоит из большого количества деталей, многие из которых в отдельности не нужны, но все вместе позволяют ездить. Так же и отрицательные числа - инструмент, который вместе с другими математическими инструментами позволяет облегчить вычисления и упростить решение и запись многих задач.

Итак, мы ввели новый объект - отрицательные числа. Для чего их используют в жизни?

Для начала вспомним роли положительных чисел:

Количество: например дерева, литра молока. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Количество

Упорядочивание: например, дома нумеруются положительными числами. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Упорядочивание

Имя: например, номер футболиста. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Число в качестве имени

Теперь посмотрим на функции отрицательных чисел:

Обозначение недостающего количества. Количество отрицательным не бывает. Но отрицательное число используют, чтобы показать, что количество отнимают. Например, мы может вылить из бутылки и записать это как . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Обозначение недостающего количества

Упорядочивание. Иногда при нумерации выбран ноль и нужно пронумеровать объекты в обе стороны от нуля. Например, этажи, расположенные ниже -го, в подвале. (См. Рис. 8.) Или температура, которая ниже выбранного нуля. (См. Рис. 9.)

Рис. 8. Этаж, расположенный ниже -го, в подвале

Рис. 9. Отрицательные числа на шкале термометра

Но все-таки основное предназначение отрицательных чисел - это инструмент для упрощения математических расчетов.

Но чтобы отрицательные числа стали таким удобным инструментом, нужно:

Отрицательная температура - это та, которая ниже нуля, ниже нулевой температуры. Но что такое нулевая температура? Чтобы измерять, записывать температуру нужно выбрать единицу измерения и точку отсчета. И то и другое является договоренностью. Мы используем шкалу Цельсия по имени ученого, который ее предложил. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Андерс Цельсий

В качестве точки отсчета здесь выбрана температура замерзания воды. Все, что ниже, обозначается отрицательным значением. (См. Рис. 11.)

Рис. 11.

Но понятно, что если взять другую точку отсчета, другой ноль, то отрицательная температура по Цельсию может быть положительной в этой другой шкале. Так и происходит. В физике широко используется шкала Кельвина. Она похожа на шкалу Цельсия, только в качестве нуля выбрано значение самой низкой возможной температуры (ниже не бывает). Это значению называют «абсолютный ноль». По Цельсию это примерно . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Две шкалы

То есть, в шкале Кельвина вообще нет отрицательных значений.

Так, наши летние .

А морозные .

То есть отрицательная температура - это условность, договоренность людей так ее называть.

Начнем с нуля. Ноль занимает особенное положение среди чисел.

Как мы уже обсудили, мы для своего удобства вычитание семи можем обозначить как отрицательное число. Так как оно означает вычитание, то и оставляем знак «» как его признак. Назовем новое число .

То есть, «» - это такое число, которое в сумме с дает ноль: . Причем в любом порядке . Это определение отрицательного (или противоположного) числа.

Для каждого числа, которое мы изучали раньше, введем новое число, отрицательное, признаком которого является знак минус перед ним. То есть для каждого прежнего числа появился его отрицательный близнец. Такие близнецы назовем противоположными числами. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Противоположные числа

Итак, определение: противоположными числами называются два числа, сумма которых равна нулю.

Внешне они отличаются только знаком «».

Если перед переменной стоит знак «», например , что это означает? Это не значит, что данная величина отрицательна. Знак минус означает, что данная величина противоположна числу : . Какое из этих чисел положительное, какое отрицательное, мы не знаем.

Если , то .

Если (отрицательное число), то (положительное число).

Какое число противоположно нулю? Мы это уже знаем.

Если ноль прибавить к любому числу, в том числе и к нулю, то исходное число не изменится. То есть сумма двух нулей равна нулю: . Но числа, сумма которых равна нулю, противоположны. Таким образом, ноль противоположен сам себе.

Итак, мы с вами дали определение отрицательных чисел, выяснили, зачем они нужны.

Теперь немного времени уделим технике. Пока нам нужно научиться для любого числа находить ему противоположное:

В последней части урока поговорим о новых названиях и обозначениях множеств, которые появляются после введения отрицательных чисел.

Тема

Тип урока

изучение и первичное усвоение нового материала

Цели урока

Познакомиться с определениями положительных и отрицательных, противоположных чисел

Находить противоположные числа при решении упражнений, при решении уравнений

Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.

Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

Узнать, что такое противоположные числа

Научиться использовать это понятие при решении задач

Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Введение.

2. Теоретическая часть

3. Практическая часть.

4. Домашнее задание.

5. Интересные факты

Введение

Посмотрите на картинки и охарактеризуйте одним слово в чем отличие на них.

На картинках изображены противоположности.

– это два числа, равные по абсолютной величине, но имеющие разные знаки, напр. 5 и -5.

Теоретическая часть

Для начала давайте вспомним, что такое отрицательные числа . Посмотри видео :

Точки с координатами 5 и -5 одинаково удалены от точки O и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки O в эти точки надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами : 5 противоположно -5, а -5 противоположно 5.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами .

Например, противоположными числами будут 35 и -35, так как число 35 = +35, значит, числа 35 и -35 отличаются только знаками. Противоположными числами также будут 0,8 и -0,8, ¾ и -¾ .

Свойства противоположных чисел

1). Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.

2). Число 0 противоположно самому себе.

3). Число, противоположное числу а, обозначают -а. Если а = -7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то -а = -8,3; если а = 0, то -а = 0.

4). Запись «-(-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(-15) = 15. Вообще -(-а) = а.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами .

Противоположное число n" по отношению к числу n - это число, которое при сложении с n даёт нуль.

n + n" = 0

Это равенство можно переписать следующим образом:

n + n" − n = 0 − n либоn" = − n

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки.

В соответствии с этим число, противоположное числу n, обозначают − n. Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот.

1. Приведите примеры противоположных чисел.

2. Изобразите их на координатной прямой.

3. Назовите число, противоположное -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практическая часть

Пример

1) Отметьте на координатной прямой точки А(2), В(-2), С(+4), D(-3), Е(-5,2), F(5,2), G(-6), H(7). 2) Среди этих точек найдите и укажите симметричные относительно точки О(0). Что можно сказать о координатах симметричных точек?

Точки, симметричные относительно точки О(0): A(2) и B(-2), E(- 5,2) и F(5,2)

Координаты симметричных точек – это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.

Отметьте на координатной прямой точки А(-3), B(+6), С(+4,2), D(+3), Е(-4,2), F(-6) Что можно сказать об эти числах?

Из чисел 15; 2,5; – 2,5; – 18; 0; 45; – 45 выберите: а) натуральные числа; б) целые числа; в) отрицательные числа; г) положительные числа; д) противоположные числа.

1) Запишите число, противоположное числу а.

2) Укажите число, противоположное числу а, если:

а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;

А =6, -а= - 2, -а=3,4.

1) Вспомните, что означает запись: - (- а).

2) Поставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: а) - (- 5) = *; б) 3 = – *.

Домашнее задание

1). Заполнить таблицу:

2). Найди: а) -m,

если m = -8,

если m = -16

если -k = 27

если -k = -35

если с = 41

если с = -3,6

3). Сколько пар противоположных чисел расположено между числами -7,2 и 3,6. Отметьте на координатной прямой.

4). Узнайте фамилию выдающегося ученого Франции:

А знаете ли вы, где в повседневной жизни мы сталкиваемся с положительными и отрицательными числами?

Список использованных источников

1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советская Энциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008 г.
3. Конспект урока на тему "Противоположные числа" Автор: Петрова В. П., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Интересное понятие из школьного курса обучения - это противоположные числа, рассматривать которые можно как математически, так и геометрически. Понимание данной темы упрощает изучение математики, позволяет быстрее справляться с некоторыми задачами - поэтому мы рассмотрим, какие числа называются противоположными, и какие правила для них работают.

В чем заключается суть термина?

Чтобы понять смысл противоположных чисел, на минуту обратимся к геометрии. Нарисуем прямую координат и отметим на ней нулевую точку, а затем поставим еще две отметки на прямой - например, «2» с правой стороны и «-2» с левой стороны от нуля. Само собой, от обеих точек расстояние до начала координат будет совершенно одинаковым - и это легко проверяется измерениями. «2» и «-2» отстоят от нуля на одно и то же расстояние, но в разных направлениях - соответственно, они являются полностью противоположными друг другу.

В этом и заключается суть. Числа могут быть сколько угодно большими или маленькими, целыми или дробными. Однако каждое из них обладает неким числом, составляющим его полную противоположность. Определение можно дать следующее - если на прямой координат от двух точек, поставленных по обе стороны от нуля, можно отложить к началу отсчета равное расстояние - эти точки, а точнее, соответствующие им числа, будут противоположны.

Какие правила можно вывести из определения?

Стоит запомнить несколько безусловных утверждений, касающихся рассматриваемой темы:

Принцип противоположности для двух чисел работает в обе стороны. Например, числу 3 противоположно число -3 - и поэтому числу -3 противоположно только число 3, а не какое-нибудь другое.
У числа не может быть двух противоположностей - таковая всегда только одна.
Противоположными друг другу могут быть числа с разными знаками. Если число положительное, то его противоположное число будет со знаком «минус» - например, 5 и -5. То же самое работает и в обратную сторону - для числа со знаком «минус» противоположным всегда будет то, что со знаком «плюс» - например, -6 и 6.
Два противоположных числа имеют одинаковое абсолютное значение, или модуль. Иными словами, если для числа 4

Рассмотрим такой пример. Нужно последовательно посчитать: .

Можно переставить вперед числа, которые необходимо складывать, а затем выполнить вычитание оставшихся: .

Можно выполнять действия и подряд: .

Но мы можем «схитрить» и обозначить . Таким образом, мы введем новый объект - отрицательные числа .

Выдал , Принял , Выдал , Принял , … (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Учет

Согласитесь, если выдавать и принимать за день нужно много раз, то запись не очень удобная.

Можно разделить лист на две колонки, одна - Принял, другая - Выдал. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Упрощенная запись

Но как записать «выдал мяча»? Можно ввести такой объект: .

Это объект позволяет нам сделать математическую запись движения мячей в том порядке, как это происходило:

Рассмотрим еще один пример.

Но удобно записывать и операции и деньги на счету с помощью знаков «» и «». (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Удобная запись

Отрицательное число мы вводим, чтобы записать результат вычитания из меньшего числа большего: .

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию: .

А так у нас появляется универсальный удобный инструмент. Один для всех таких случаев.

Итак, мы ввели новый объект - отрицательные числа. Для чего их используют в жизни?

Для начала вспомним роли положительных чисел:

Количество: например дерева, литра молока. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Количество

Упорядочивание: например, дома нумеруются положительными числами. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Упорядочивание

Имя: например, номер футболиста. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Число в качестве имени

Теперь посмотрим на функции отрицательных чисел:

Рис. 7. Обозначение недостающего количества

Рис. 8. Этаж, расположенный ниже -го, в подвале

Рис. 9. Отрицательные числа на шкале термометра

Но чтобы отрицательные числа стали таким удобным инструментом, нужно:

Рис. 10. Андерс Цельсий

Рис. 11.

Рис. 12. Две шкалы

То есть, в шкале Кельвина вообще нет отрицательных значений.

Так, наши летние .

А морозные .

То есть отрицательная температура - это условность, договоренность людей так ее называть.

Начнем с нуля. Ноль занимает особенное положение среди чисел.

Рис. 13. Противоположные числа

Итак, определение: противоположными числами называются два числа, сумма которых равна нулю.

Внешне они отличаются только знаком «».

Если , то .

Если (отрицательное число), то (положительное число).

Какое число противоположно нулю? Мы это уже знаем.

Итак, мы с вами дали определение отрицательных чисел, выяснили, зачем они нужны.

Противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

$n" = -n$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули , но противоположные знаки . В соответствии с этим, противоположное числу $n$ обозначают $-n$ .

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Противоположное $(-z)$
Алгебраическая	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрическая	$r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$	$-r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$
Показательная	$re^{i \varphi}$	$-re^{i \varphi}$

Противоположное к мнимой единице

$\frac{1}{i}=\frac{1 \cdot i}{i \cdot i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$

Таким образом, получаем

$-i = \frac{1}{i}$ __ или__ $-i = i^{-1}$

Аналогично для $-i$ : __ $i = - \frac{1}{i}$ __ или __ $i = -i^{-1}$

Напишите отзыв о статье "Противоположное число"

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Противоположное число

«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.
– Как не бы… – начал Кутузов, но тотчас же замолчал и приказал позвать к себе старшего офицера. Вылезши из коляски, опустив голову и тяжело дыша, молча ожидая, ходил он взад и вперед. Когда явился потребованный офицер генерального штаба Эйхен, Кутузов побагровел не оттого, что этот офицер был виною ошибки, но оттого, что он был достойный предмет для выражения гнева. И, трясясь, задыхаясь, старый человек, придя в то состояние бешенства, в которое он в состоянии был приходить, когда валялся по земле от гнева, он напустился на Эйхена, угрожая руками, крича и ругаясь площадными словами. Другой подвернувшийся, капитан Брозин, ни в чем не виноватый, потерпел ту же участь.
– Это что за каналья еще? Расстрелять мерзавцев! – хрипло кричал он, махая руками и шатаясь. Он испытывал физическое страдание. Он, главнокомандующий, светлейший, которого все уверяют, что никто никогда не имел в России такой власти, как он, он поставлен в это положение – поднят на смех перед всей армией. «Напрасно так хлопотал молиться об нынешнем дне, напрасно не спал ночь и все обдумывал! – думал он о самом себе. – Когда был мальчишкой офицером, никто бы не смел так надсмеяться надо мной… А теперь!» Он испытывал физическое страдание, как от телесного наказания, и не мог не выражать его гневными и страдальческими криками; но скоро силы его ослабели, и он, оглядываясь, чувствуя, что он много наговорил нехорошего, сел в коляску и молча уехал назад.